1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

ReuploadWajib sertai langkah pengerjaan, terimakasih!​

Berikut ini adalah pertanyaan dari dilaaulia25 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Reupload

Wajib sertai langkah pengerjaan, terimakasih!​
ReuploadWajib sertai langkah pengerjaan, terimakasih!​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab: TERBUKTI bahwa \Remerupakan suatu relasi ekuivalen pada\mathbb{R}.

 

Pembahasan

Relasi Ekuivalen

Sebuah relasi \Repada sebuah himpunanS merupakan relasi ekuivalen jika memenuhi tiga syarat berikut.

  1. \Rebersifatreflektif, jika dan hanya jika:
  2. \forall\,x\in S,\ x\Re x.
  3. \Rebersifatsimetris, jika dan hanya jika:
  4. \forall\,x,y\in S,\ x\Re y\Rightarrow y\Re x.
  5. \Rebersifattransitif, jika dan hanya jika:
  6. \forall\,x,y,z\in S,\ x\Re y\land y\Re z\Rightarrow x\Re z.

Permasalahan

Diberikan relasi \Repada himpunan bilangan riil\mathbb{R}, di mana \forall\,a,b\in \mathbb{R},\ a\Re bjika dan hanya jikaa-b habis dibagi 4.

Kita akan membuktikan bahwa \Remerupakan suatu relasi ekuivalen pada\mathbb{R}.

PEMBUKTIAN

1. Sifat Reflektif

Sifat reflektif dari \Reterpenuhi jika dan hanya jika\forall\,a\in \mathbb{R},\ a\Re a.

\begin{aligned}a\Re a&\iff 4\mid a-a\\&\iff 4\mid0\\&\iff 0\equiv0\ (\!\!\!\!\mod 4)\end{aligned}

Terbukti bahwa 4 habis membagi a-a. Hal ini juga berlaku untuk setiap anggota \mathbb{R} berapapun nilainya.

∴  Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa relasi \Re bersifat reflektif.

2. Sifat Simetris

Sifat simetris dari \Reterpenuhi jika dan hanya jika\forall\,a,b\in \mathbb{R},\ a\Re b\Rightarrow b\Re a (jika a\Re bmakab\Re a).

\begin{aligned}a\Re b&\iff 4\mid a-b\\&\iff a-b=4k,\ k\in\mathbb{Z}\\&\iff -(b-a)=4k\\&\iff b-a=-4k\\&\iff 4\mid-4k\\\end{aligned}

Karena 4 habis membagi -4k, yang juga berarti 4 habis membagi b-a, maka a\Re b\Rightarrow b\Re aberlaku pada\mathbb{R}.

∴  Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa \Re bersifat simetris.

3. Sifat Transitif

Sifat transitif dari \Reterpenuhi jika dan hanya jika\forall\,a,b,c\in S,\ a\Re b\land b\Re c\Rightarrow a\Re c (Jika a\Re bdanb\Re c, maka a\Re c.)

\begin{aligned}&a\Re b\land b\Re c\\&\Rightarrow (4\mid a-b)\land(4\mid b-c)\\&\Rightarrow (b=a-4k_1)\land(c=b-4k_2)\\&\Rightarrow c=a-4k_1-4k_2\\&\Rightarrow c=a-4(k_1+k_2)\\&\Rightarrow c=a-4K\\&\Rightarrow 4K=a-c\\&\Rightarrow 4\mid a-c\\&\Rightarrow a\Re c\end{aligned}

Terbukti bahwa \forall\,a,b,c\in S,\ a\Re b\land b\Re c\Rightarrow a\Re c.

∴  Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa \Re bersifat transitif.

 

KESIMPULAN

Telah ditunjukkan bahwa relasi \Repada\mathbb{R} memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.

Oleh karena itu, TERBUKTIbahwa\Remerupakan suatu relasi ekuivalen pada\mathbb{R}.  \blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 23 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>