1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Hasil Pembuktian Deret dari .... Adalah1. 1³ + 2³ +

Berikut ini adalah pertanyaan dari keanubicol pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hasil Pembuktian Deret dari .... Adalah1. 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + .... + n³ = 1/4 n³ (n+1)³

2. 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 + ... + n/n(n+1) = n/n+1

​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nomor 1 (terdapat koreksi soal)
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + .... + n³ = ¼n²(n+1)² terbukti benar dan berlaku untuk semua n bilangan asli.

Nomor 2 (terdapat koreksi soal)

\begin{aligned}\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+{\dots}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\end{aligned}
terbukti benar dan berlaku untuk semua n bilangan asli.
 
_______________

Pembahasan

Pembuktian dengan induksi matematika memerlukan 3 langkah, yaitu:

  • langkah dasar (basis induksi), di mana kita membuktikan bahwa teorema/persamaan yang dinyatakan dalam n benar untuk nilai n basis dalam himpunan bilangan yang melingkupinya (jika n bilangan asli, maka n = 1),
  • penetapan asumsi (hipotesis), di mana kita menetapkan asumsi bahwa teorema/persamaan benar untuk sembarang nilai n (biasanya dipilih variabel k atau variabel lain), dan
  • langkah induksi, yaitu membuktikan bahwa teorema/persamaan benar pula untuk nilai 1 lebihnya dari nilai n pada asumsi (n = k+1).

Penyelesaian Soal

Nomor 1

Untuk soal ini, kemungkinan ada kesalahan, karena jika benar persamaannya adalah 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + .... + n³ = ¼n³(n+1)³, maka pada langkah dasar untuk n=1, yaitu 1³ ≠ ¼·1³(2³) = 2, tidak terbukti benar. Oleh karena itu, jawabannya jelas TIDAK TERBUKTI.

Menurut saya, yang benar adalah:
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + .... + n³ = ¼n²(n+1)²

Langkah-Langkah Pembuktian

Langkah Dasar (Basis Induksi)
Untuk n = 1, 1³ = ¼·1²(2)² merupakan pernyataan yang benar.

Asumsi (Hipotesis)
Andaikan benar untuk n = k, yaitu 1³ + 2³ + 3³ + .... + k³ = ¼k²(k+1)², maka harus dibuktikan benar pula untuk n = k+1, yaitu 1³ + 2³ + 3³ + .... + k + (k+1)³ = ¼(k+1)²(k+2)²

Langkah Induksi

Ruas kiri
= 1³ + 2³ + 3³ + .... + k + (k+1)³
= (1³ + 2³ + 3³ + .... + k) + (k+1)³
= ¼k²(k+1)² + (k+1)³
= ¼(k+1)²k² + (k+1)²(k+1)
= ¼(k+1)²k² + ¼(k+1)²·4(k+1)
= ¼(k+1)²[k² + 4(k+1)]
= ¼(k+1)²[k² + 4k + 4]
= ¼(k+1)²(k+2)²
⇒ terbukti

KESIMPULAN

∴  1³ + 2³ + 3³ + 4³ + .... + n³ = ¼n²(n+1)² terbukti benar dan berlaku untuk semua n bilangan asli.

\blacksquare

Nomor 2

\begin{aligned}\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+{\dots}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\end{aligned}

Ini juga sebagai koreksi soal nomor 2, periksa suku terakhir pada soal, yang benar adalah 1/(n(n+1)), bukan n/(n(n+1)).

Langkah-Langkah Pembuktian

Langkah Dasar (Basis Induksi)

Untuk n = 1, \dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac{1}{1+1} merupakan pernyataan yang benar.

Asumsi (Hipotesis)

Andaikan benar untuk n=k, yaitu

\begin{aligned}&\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+{\dots}+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\end{aligned}

maka harus dibuktikan benar pula untuk n=k+1, yaitu

\begin{aligned}&\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+{\dots}+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\&=\frac{k+1}{k+2}\end{aligned}

Langkah Induksi

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&{=\ }\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+{\dots}+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\&{=\ }\left[\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+{\dots}+\frac{1}{k(k+1)}\right]+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\&{=\ }\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\&{=\ }\frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\&{=\ }\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}\\&{=\ }\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}\\&{=\ }\frac{\cancel{(k+1)}(k+1)}{\cancel{(k+1)}(k+2)}\\\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{k+1}{k+2}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}

⇒ terbukti

KESIMPULAN

\begin{aligned}\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+{\dots}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\end{aligned}
terbukti benar dan berlaku untuk semua n bilangan asli.

\blacksquare
_______________

Pelajari Lebih Lanjut

Contoh soal lain tentang Induksi Matematika

_______________

Detail Jawaban

Mata Pelajaran: Matematika
Kelas: 11 (XI)
Materi: Bab 1 - Induksi Matematika
Kode Kategorisasi: 11.2.1

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 19 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>