Kuis Easy (100 poin; 50 Poin untuk 2 orang) Berkas

Berikut ini adalah pertanyaan dari ridhovictor4 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis Easy (100 poin; 50 Poin untuk 2 orang) Berkas Lingkaran :Tentukan persamaan berkas lingkaran yang melalui titik (1,2), (3,4) !
Rules :
1. Bentuk jawaban nya boleh beda asalkan garis kuasa, dan semua berkas lingkarannya melalui 2 titik tadi (untuk nilai konstan yang berbeda beda, kalau mau buktiin hasil akhirnya pakai Desmos/kalkulator grafik lain juga boleh.
2. No ngasal, bahasa alien, bahasa kasar, dll. Kerjakan dengan benar ya.
3. Jawaban lengkap (boleh kasih konsep, malahan di rekomendasikan untuk mendapatkan Brainliest Answer).

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban: (pada kesimpulan)

Pembahasan

Berkas Lingkaran

Garis kuasa yang melalui (1, 2) dan (3, 4) adalah $y=x+1$ atau $y-x-1=0$ .

Persamaan berkas lingkaran dapat berbentuk:

$L_1+\lambda L_2=0$ (bentuk pertama), atau
$L_1+\lambda k=0$ (bentuk kedua), atau
$L_2+\lambda k=0$ (bentuk ketiga)

dengan $k$ adalah garis kuasa lingkaran $L_1$ dan $L_2$ , dan $\lambda$ adalah sebuah konstanta tertentu.

Menentukan Lingkaran $L_1$ dan $L_2$

Titik tengah antara (1, 2) dan (3, 4) adalah (2, 3). Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis kuasa dan melalui (2, 3) adalah $y+x-5=0$ .

Titik pusat lingkaran $L_1$ dan lingkaran $L_2$ terletak pada garis $y+x-5=0$ .

Untuk $L_1$ , dipilih absis titik pusat $x=3$ , maka ordinatnya adalah $y=2$ . Jarak dari titik (1, 2) atau (3, 4) ke titik pusat (3, 2) adalah panjang jari-jarinya.

$\begin{aligned}L_1:\ &(x-3)^2+(y-2)^2=(1-3)^2+(2-2)^2\\&x^2-6x+9+y^2-4y+4=4\\\therefore L_1:\ &x^2-6x+y^2-4y+9=0\end{aligned}$

Untuk $L_2$ , dipilih absis titik pusat $x=0$ , maka ordinatnya adalah $y=5$ . Jarak dari titik (1, 2) atau (3, 4) ke titik pusat (0, 5) adalah panjang jari-jarinya.

$\begin{aligned}L_2:\ &x^2+(y-5)^2=1^2+(2-5)^2\\&x^2+y^2-10y+25=10\\\therefore L_2:\ &x^2+y^2-10y+15=0\end{aligned}$

Persamaan Berkas Lingkaran Bentuk Pertama

$\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{Bentuk pertama}:L_1+\lambda L_2=0\\&{\Rightarrow\ }x^2-6x+y^2-4y+9+\lambda\left(x^2+y^2-10y+15\right)=0\\&{\therefore\ \:}\boxed{\:(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2-6x-(4+10\lambda)y+9+15\lambda=0\:}\\\end{aligned}$

Kita juga dapat menggunakan bentuk kedua dan ketiga berikut ini.

Persamaan Berkas Lingkaran Bentuk Kedua

$\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{Bentuk kedua}:L_1+\lambda k=0\\&{\Rightarrow\ }x^2-6x+y^2-4y+9+\lambda(y-x-1)=0\\&{\therefore\ \:}\boxed{\:x^2+y^2-(6+\lambda)x-(4-\lambda)y+9-\lambda=0\:}\end{aligned}$

Dari persamaan berkas lingkaran tersebut, kita pilih nilai $\lambda \in \{1, 2, 3\}$ .

$\begin{aligned}&(\lambda=1)\\&\Rightarrow L_{1a}:x^2+y^2-(6+1)x-(4-1)y+9-1=0\\&\Rightarrow L_{1a}:x^2+y^2-7x-3y+8=0\\&\Rightarrow L_{1a}:x^2-7x+\frac{49}{4}+y^2-3y+\frac{9}{4}=-8+\frac{49}{4}+\frac{9}{4}\\&\Rightarrow L_{1a}:\left(x-\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{13}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&(\lambda=2)\\&\Rightarrow L_{1b}:x^2+y^2-(6+2)x-(4-2)y+9-2=0\\&\Rightarrow L_{1b}:x^2-8x+16+y^2-2y+1=-7+16+1\\&\Rightarrow L_{1b}:\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2=10\end{aligned}$

$\begin{aligned}&(\lambda=3)\\&\Rightarrow L_{1c}:x^2+y^2-(6+3)x-(4-3)y+9-3=0\\&\Rightarrow L_{1c}:x^2+y^2-9x-y+6=0\\&\Rightarrow L_{1c}:x^2-9x+\frac{81}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=-6+\frac{81}{4}\frac{1}{4}\\&\Rightarrow L_{1c}:\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{29}{2}\end{aligned}$

Persamaan Berkas Lingkaran Bentuk Ketiga

$\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{Bentuk ketiga}:L_2+\lambda k=0\\&{\Rightarrow\ }x^2+y^2-10y+15+\lambda(y-x-1)=0\\&{\therefore\ \:}\boxed{\:x^2+y^2-\lambda x-(10-\lambda)y+15-\lambda=0\:}\end{aligned}$

Dari persamaan berkas lingkaran tersebut, kita pilih nilai $\lambda \in \{1, 2, 3\}$ .

$\begin{aligned}&(\lambda=1)\\&\Rightarrow L_{2a}:x^2+y^2-x-(10-1)y+15-1=0\\&\Rightarrow L_{2a}:x^2+y^2-x-9y+14=0\\&\Rightarrow L_{2a}:x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-9y+\frac{81}{4}=-14+\frac{1}{4}+\frac{81}{4}\\&\Rightarrow L_{2a}:\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=\frac{13}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&(\lambda=2)\\&\Rightarrow L_{2b}:x^2+y^2-2x-(10-2)y+15-2=0\\&\Rightarrow L_{2b}:x^2+y^2-2x-8y+13=0\\&\Rightarrow L_{2b}:\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=4\end{aligned}$

$\begin{aligned}&(\lambda=3)\\&\Rightarrow L_{2c}:x^2+y^2-3x-\left(10-3\right)y+15-3=0\\&\Rightarrow L_{2c}:x^2+y^2-3x-7y+12=0\\&\Rightarrow L_{2c}:x^2-3x+\frac{9}{4}+y^2-7y+\frac{49}{4}=-12+\frac{9}{4}+\frac{49}{4}\\&\Rightarrow L_{2c}:\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\left(y-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{5}{2}\end{aligned}$

Visualisasinya dapat dilihat pada gambar.

KESIMPULAN

Bentuk umum persamaan berkas lingkaran berdasarkan garis kuasa di atas adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\:L_1+\lambda(y-x-1)=0\:}\\&\quad\textsf{atau}\\&\boxed{\:L_2+\lambda(y-x-1)=0\:}\\\end{aligned}$}$

Berdasarkan lingkaran $L_1$ dan $L_2$ yang dipilih, persamaan berkas lingkarannya adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\:(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2-6x-(4+10\lambda)y+9+15\lambda=0\:}\end{aligned}$}$

Berdasarkan garis kuasa kedua lingkaran, persamaan berkas lingkarannya adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\:x^2+y^2-(6+\lambda)x-(4-\lambda)y+9-\lambda=0\:}\\&\quad\textsf{atau}\\&\boxed{\:x^2+y^2-\lambda x-(10-\lambda)y+15-\lambda=0\:}\\\end{aligned}$}$

$\blacksquare$

$Jawaban: (pada kesimpulan) PembahasanBerkas LingkaranGaris kuasa yang melalui (1, 2) dan (3, 4) adalah [tex]y=x+1[/tex] atau [tex]y-x-1=0[/tex]. Persamaan berkas lingkaran dapat berbentuk:[tex]L_1+\lambda L_2=0[/tex] (bentuk pertama), atau [tex]L_1+\lambda k=0[/tex] (bentuk kedua), atau [tex]L_2+\lambda k=0[/tex] (bentuk ketiga)dengan [tex]k[/tex] adalah garis kuasa lingkaran [tex]L_1[/tex] dan [tex]L_2[/tex], dan [tex]\lambda[/tex] adalah sebuah konstanta tertentu.Menentukan Lingkaran [tex]L_1[/tex] dan [tex]L_2[/tex]Titik tengah antara (1, 2) dan (3, 4) adalah (2, 3). Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis kuasa dan melalui (2, 3) adalah [tex]y+x-5=0[/tex].Titik pusat lingkaran [tex]L_1[/tex] dan lingkaran [tex]L_2[/tex] terletak pada garis [tex]y+x-5=0[/tex]. Untuk [tex]L_1[/tex], dipilih absis titik pusat [tex]x=3[/tex], maka ordinatnya adalah [tex]y=2[/tex]. Jarak dari titik (1, 2) atau (3, 4) ke titik pusat (3, 2) adalah panjang jari-jarinya. [tex]\begin{aligned}L_1:\ &(x-3)^2+(y-2)^2=(1-3)^2+(2-2)^2\\&x^2-6x+9+y^2-4y+4=4\\\therefore L_1:\ &x^2-6x+y^2-4y+9=0\end{aligned}[/tex]Untuk [tex]L_2[/tex], dipilih absis titik pusat [tex]x=0[/tex], maka ordinatnya adalah [tex]y=5[/tex]. Jarak dari titik (1, 2) atau (3, 4) ke titik pusat (0, 5) adalah panjang jari-jarinya.[tex]\begin{aligned}L_2:\ &x^2+(y-5)^2=1^2+(2-5)^2\\&x^2+y^2-10y+25=10\\\therefore L_2:\ &x^2+y^2-10y+15=0\end{aligned}[/tex]Persamaan Berkas Lingkaran Bentuk Pertama[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{Bentuk pertama}:L_1+\lambda L_2=0\\&{\Rightarrow\ }x^2-6x+y^2-4y+9+\lambda\left(x^2+y^2-10y+15\right)=0\\&{\therefore\ \:}\boxed{\:(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2-6x-(4+10\lambda)y+9+15\lambda=0\:}\\\end{aligned}[/tex]Kita juga dapat menggunakan bentuk kedua dan ketiga berikut ini.Persamaan Berkas Lingkaran Bentuk Kedua[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{Bentuk kedua}:L_1+\lambda k=0\\&{\Rightarrow\ }x^2-6x+y^2-4y+9+\lambda(y-x-1)=0\\&{\therefore\ \:}\boxed{\:x^2+y^2-(6+\lambda)x-(4-\lambda)y+9-\lambda=0\:}\end{aligned}[/tex]Dari persamaan berkas lingkaran tersebut, kita pilih nilai [tex]\lambda \in \{1, 2, 3\}[/tex].[tex]\begin{aligned}&(\lambda=1)\\&\Rightarrow L_{1a}:x^2+y^2-(6+1)x-(4-1)y+9-1=0\\&\Rightarrow L_{1a}:x^2+y^2-7x-3y+8=0\\&\Rightarrow L_{1a}:x^2-7x+\frac{49}{4}+y^2-3y+\frac{9}{4}=-8+\frac{49}{4}+\frac{9}{4}\\&\Rightarrow L_{1a}:\left(x-\frac{7}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{13}{2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&(\lambda=2)\\&\Rightarrow L_{1b}:x^2+y^2-(6+2)x-(4-2)y+9-2=0\\&\Rightarrow L_{1b}:x^2-8x+16+y^2-2y+1=-7+16+1\\&\Rightarrow L_{1b}:\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2=10\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&(\lambda=3)\\&\Rightarrow L_{1c}:x^2+y^2-(6+3)x-(4-3)y+9-3=0\\&\Rightarrow L_{1c}:x^2+y^2-9x-y+6=0\\&\Rightarrow L_{1c}:x^2-9x+\frac{81}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=-6+\frac{81}{4}\frac{1}{4}\\&\Rightarrow L_{1c}:\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{29}{2}\end{aligned}[/tex]Persamaan Berkas Lingkaran Bentuk Ketiga[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{Bentuk ketiga}:L_2+\lambda k=0\\&{\Rightarrow\ }x^2+y^2-10y+15+\lambda(y-x-1)=0\\&{\therefore\ \:}\boxed{\:x^2+y^2-\lambda x-(10-\lambda)y+15-\lambda=0\:}\end{aligned}[/tex]Dari persamaan berkas lingkaran tersebut, kita pilih nilai [tex]\lambda \in \{1, 2, 3\}[/tex].[tex]\begin{aligned}&(\lambda=1)\\&\Rightarrow L_{2a}:x^2+y^2-x-(10-1)y+15-1=0\\&\Rightarrow L_{2a}:x^2+y^2-x-9y+14=0\\&\Rightarrow L_{2a}:x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-9y+\frac{81}{4}=-14+\frac{1}{4}+\frac{81}{4}\\&\Rightarrow L_{2a}:\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=\frac{13}{2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&(\lambda=2)\\&\Rightarrow L_{2b}:x^2+y^2-2x-(10-2)y+15-2=0\\&\Rightarrow L_{2b}:x^2+y^2-2x-8y+13=0\\&\Rightarrow L_{2b}:\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=4\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&(\lambda=3)\\&\Rightarrow L_{2c}:x^2+y^2-3x-\left(10-3\right)y+15-3=0\\&\Rightarrow L_{2c}:x^2+y^2-3x-7y+12=0\\&\Rightarrow L_{2c}:x^2-3x+\frac{9}{4}+y^2-7y+\frac{49}{4}=-12+\frac{9}{4}+\frac{49}{4}\\&\Rightarrow L_{2c}:\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\left(y-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{5}{2}\end{aligned}[/tex]Visualisasinya dapat dilihat pada gambar. KESIMPULANBentuk umum persamaan berkas lingkaran berdasarkan garis kuasa di atas adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\:L_1+\lambda(y-x-1)=0\:}\\&\quad\textsf{atau}\\&\boxed{\:L_2+\lambda(y-x-1)=0\:}\\\end{aligned}$}[/tex]Berdasarkan lingkaran [tex]L_1[/tex] dan [tex]L_2[/tex] yang dipilih, persamaan berkas lingkarannya adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\:(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2-6x-(4+10\lambda)y+9+15\lambda=0\:}\end{aligned}$}[/tex]Berdasarkan garis kuasa kedua lingkaran, persamaan berkas lingkarannya adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\:x^2+y^2-(6+\lambda)x-(4-\lambda)y+9-\lambda=0\:}\\&\quad\textsf{atau}\\&\boxed{\:x^2+y^2-\lambda x-(10-\lambda)y+15-\lambda=0\:}\\\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 21 Sep 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Kuis Easy (100 poin; 50 Poin untuk 2 orang) Berkas

Jawaban dan Penjelasan

Pembahasan

Berkas Lingkaran

KESIMPULAN

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika