1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Turunan parsial tingkat 2 pada fungsi f(x,y,z) = z³y²In(x)?​

Berikut ini adalah pertanyaan dari ferdijonathan01 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Turunan parsial tingkat 2 pada fungsi f(x,y,z) = z³y²In(x)?​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terdapat sebuah fungsi tiga variabel: f(x,y,z) = z³y²㏑(x). Turunan parsial tingkat dua dari fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

  1. \bf\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{-z^3y^2}{x^2}
  2. \bf\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{2z^3y}{x}
  3. \bf\frac{\partial^2f}{\partial x\partial z}=\frac{3z^2y^2}{x}
  4. \bf\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{2z^3y}{x}
  5. \bf\frac{\partial^2f}{\partial y^2} = 2z³㏑(x)
  6. \bf\frac{\partial^2f}{\partial y\partial z} = 6z²y㏑(x)
  7. \bf\frac{\partial^2f}{\partial z\partial x}=\frac{3z^2y^2}{x}
  8. \bf\frac{\partial^2f}{\partial z\partial y} = 6z²y㏑(x)
  9. \bf\frac{\partial^2f}{\partial z^2} = 6zy²㏑(x)

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui: f(x,y,z) = z³y²㏑(x)

Ditanya: turunan parsial tingkat dua

Jawab:

  • Turunan parsial tingkat pertama terhadap variabel x

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z^3y^2}{x}

  • Turunan parsial tingkat pertama terhadap variabel y

\frac{\partial f}{\partial y} = z³·2·y²⁻¹·㏑(x) = 2z³y¹㏑(x) = 2z³y㏑(x)

  • Turunan parsial tingkat pertama terhadap variabel z

\frac{\partial f}{\partial z} = 3·z³⁻¹·y²㏑(x) = 3z²y²㏑(x)

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel x dua kali

Turunan parsial tingkat pertama terhadap variabel x dapat dituliskan kembali sebagai berikut:

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z^3y^2}{x} = z³y²x⁻¹

Turunan parsial keduanya terhadap variabel x kembali sebagai berikut:

\frac{\partial^2f}{\partial x^2} = z³y²·(-1)·x⁻¹⁻¹ = -z³y²x⁻² = \frac{-z^3y^2}{x^2}

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel x lalu terhadap variabel y

\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = z³·2·y²⁻¹·x⁻¹ = 2z³y¹x⁻¹ = \frac{2z^3y}{x}

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel x lalu terhadap variabel z

\frac{\partial^2f}{\partial x\partial z} = 3·z³⁻¹·y²x⁻¹ = \frac{3z^2y^2}{x}

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel y lalu terhadap variabel x

\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{2z^3y}{x}

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel y dua kali

\frac{\partial^2f}{\partial y^2} = 2z³·1·y¹⁻¹·㏑(x) = 2z³y⁰㏑(x) = 2z³·1·㏑(x) = 2z³㏑(x)

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel y lalu terhadap variabel z

\frac{\partial^2f}{\partial y\partial z} = 2·3·z³⁻¹·y㏑(x) = 6z²y㏑(x)

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel z lalu terhadap variabel x

\frac{\partial^2f}{\partial z\partial x}=\frac{3z^2y^2}{x}

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel z lalu terhadap variabel y

\frac{\partial^2f}{\partial z\partial y} = 3z²·2·y²⁻¹·㏑(x) = 6z²y¹㏑(x) = 6z²y㏑(x)

  • Turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel z dua kali

\frac{\partial^2f}{\partial z^2} = 3·2·z²⁻¹·y²㏑(x) = 6z¹y²㏑(x) = 6zy²㏑(x)

  • Keseluruhan turunan parsial tingkat kedua

Keseluruhan turunan parsial kedua tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks, disebut matriks HessianatauHesse. Baris pertama menyatakan turunan parsial tingkat pertama terhadap variabel x, y dan z pada baris, berturut-turut, pertama, kedua, dan ketiga, sedangkan baris kedua menyatakan turunan parsial tingkat kedua terhadap variabel x, y dan z pada kolom, berturut-turut, pertama, kedua, dan ketiga. Berikut matriksnya:

\bf{H}\textit{f}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-z^3y^2}{x^2}&\frac{2z^3y}{x}&\frac{3z^2y^2}{x}\\\frac{2z^3y}{x}&2z^3\text{ln }x&6z^2y\text{ln }x\\\frac{3z^2y^2}{x}&6z^2y\text{ln }x&6zy^2\text{ln }x\end{array}\right]

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Menentukan Turunan Parsial Pertama pada Berbagai Fungsi Dua Variabel yomemimo.com/tugas/35960390

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh anginanginkel dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 04 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>