Perlihatkan bahwa persamaan diferensial (6x²+5y-3)dx+(5x-9y²+2)dy=0 merupakan persamaan diferensial eksak, dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari ghost222 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Perlihatkan bahwa persamaan diferensial (6x²+5y-3)dx+(5x-9y²+2)dy=0 merupakan persamaan diferensial eksak, dan tentukan solusi umum penyelesaiannya

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Solusi umum dari $(6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }}$ .

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial berbentuk $Mdx+Ndy=0$ disebut eksak jika memenuhi $\displaystyle{\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}}$ .

Solusi dari persamaan diferensial ini adalah $F(x,y)=C$ .

Langkah langkah untuk mencari solusinya :

1. Karena $\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta x}=M(x,y)}$ maka $\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx +g(y)}$ .

2. Turunkan F(x,y) terhadap y.

3. Bandingkan hasil no 2 dengan fungsi N untuk memperoleh fungsi g(y).

DIKETAHUI

$(6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0$

DITANYA

Tentukan solusi umumnya.

PENYELESAIAN

$(6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0$

$\displaystyle{M=6x^2+5y-3~\to~\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=5}$

$\displaystyle{N=5x-9y^2+2~\to~\frac{\vartheta N}{\vartheta x}=5}$

Karena $\displaystyle{\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}}$ maka termasuk persamaan diferesial eksak.

> Mencari solusi PD.

$\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx }$

$\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {(6x^2+5y-3)} \, dx }$

$\displaystyle{F(x,y)=2x^3+5xy-3x+g(y) }$

Kita turunkan F(x,y) terhadap y

$\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=5x+g'(y) }$

Karena $\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=N }$ , maka :

$\displaystyle{5x+g'(y)=5x-9y^2+2 }$

Dengan menyamakan kedua ruas diperoleh :

$\displaystyle{g'(y)=-9y^2+2 }$

$\displaystyle{\int\limits {g'(y)} \, dy =\int\limits {(-9y^2+2)} \, dy }$

$\displaystyle{g(y) =-3y^3+2y+C }$

Sehingga solusi dari PD eksak tersebut adalah :

$F(x,y)=C$

$\displaystyle{2x^3+5xy-3x+g(y)=C }$

$\displaystyle{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }$

KESIMPULAN

Solusi umum dari $(6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

PD eksak : yomemimo.com/tugas/41818609
PD eksak : yomemimo.com/tugas/29348546
PD non eksak : yomemimo.com/tugas/28274935

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 09 Oct 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah