1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Lingkaran L; x² + y² - 6x + 4y -

Berikut ini adalah pertanyaan dari limitzn47 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Lingkaran L; x² + y² - 6x + 4y - 25 = 0 di delatasikan dengan factor skala ½ terhadap pusat (2,-1) tentukan L'​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Bayangan dari lingkaran L : x² + y² – 6x + 4y – 25 = 0yangdidilatasikan dengan faktor skala ½ terhadap pusat (2, –1) adalah:
\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\vphantom{\Big|}\,L':x^2+y^2-5x+3y-1=0\,}\end{aligned}$}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui

Lingkaran L:x^2+y^2-6x+4y-25=0 didilatasikan dengan faktor skala ½ terhadap pusat (2,-1).

Ditanyakan

Persamaan lingkaran L'

Penyelesaian

CARA 1

Bayangan dari titik (x, y)hasil dilatasi dengan faktor skalakterhadap pusat(a, b) diberikan oleh:

\begin{pmatrix}x'-a\\y'-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}

atau ekuivalen dengan

\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.

Jadi, dilatasi dengan faktor skala ½ terhadap pusat (2,-1) dinyatakan oleh:

\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-2\\y+1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(x-2)+2\\\frac{1}{2}(y+1)-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}x-1+2\\\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}x+1\\\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x+2\\y-1\end{pmatrix}\end{aligned}

Kedua ruas dikalikan 2:

\begin{aligned}2\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=2\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x+2\\y-1\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}2x'\\2y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}x+2\\y-1\end{pmatrix}\\\end{aligned}

Diperoleh:

\begin{aligned}\bullet\ &2x'=x+2\\&\Rightarrow x=2x'-2\\\bullet\ &2y'=y-1\\&\Rightarrow y=2y'+1\end{aligned}

Substitusi xdanyke dalam persamaan lingkaranL.

\begin{aligned}&x^2+y^2-6x+4y-25=0\\&\Rightarrow (2x'-2)^2+(2y'+1)^2-6(2x'-2)+4(2y'+1)-25=0\\&\Rightarrow 4(x')^2-8x'+4+4(y')^2+4y'+1-12x'+12+8y'+4-25=0\\&\Rightarrow 4(x')^2+4(y')^2-8x'-12x'+4y'+8y'+4+1+12+4-25=0\\&\Rightarrow 4(x')^2+4(y')^2-20x'+12y'-4=0\\&\Rightarrow 4\left[(x')^2+(y')^2-5x'+4y'-1\right]=0\\&\Rightarrow (x')^2+(y')^2-5x'+4y'-1=0\end{aligned}

Dengan demikian, bayangan dari lingkaran L adalah:

\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\vphantom{\Big|}\,L':x^2+y^2-5x+3y-1=0\,}\end{aligned}$}
\blacksquare

CARA 2

Kita ubah persamaan lingkaran Lmenjadi bentuk umum persamaan lingkaran(x-p)^2+(y-q)^2=r^2, yaitu lingkaran dengan titik pusat di (p, q)dan berjari-jarir.

\begin{aligned}&x^2+y^2-6x+4y-25=0\\&\Rightarrow x^2+y^2-6x+4y=25\\&\Rightarrow x^2-6x+9+y^2+4y+4=25+9+4\\&\Rightarrow (x-3)^2+(y+2)^2=38\end{aligned}

⇒ Titik pusat: (3, -2)
⇒ r^2=38 \implies r=\sqrt{38}

Dilatasi dengan faktor skala ½ menghasilkan bayangan berupa lingkaran L' dengan besar ½ × lingkaran L, sehingga:

r' = r/2\implies (r')^2=r^2/4

Oleh karena itu:

(r')^2=38/4

Dilatasi dengan faktor skala ½ menyebabkan pusat lingkaran L' merupakan hasil translasi/pergeseran dari titik pusat lingkaran L sejauh ½ jarak berarahnya terhadap titik pusat dilatasi, sehingga:

\begin{aligned}\bullet\ &p'=p+\frac{a-p}{2}=\frac{a+p}{2}\\\bullet\ &q'=q+\frac{b-p}{2}=\frac{b+q}{2}\end{aligned}

dengan (a,b)merupakan titik pusat dilatasi dan(p,q)menyatakan titik pusat lingkaranL.

Oleh karena itu, dengan titik pusat dilatasi (2,-1)dan titik pusat lingkaran L(3,-2), diperoleh:

\begin{aligned}{\sf Titik\ pusat\ }L'&=(p',q')\\&=\left(\frac{a+p}{2},\ \frac{b+q}{2}\right)\\&=\left(\frac{2+3}{2},\ \frac{-1+(-2)}{2}\right)\\{\sf Titik\ pusat\ }L'&=\left(\frac{5}{2},\ -\frac{3}{2}\right)\\\end{aligned}

Kemudian, kita susun persamaan lingkaran L' dari bentuk umum persamaan lingkaran.

\begin{aligned}&L':\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{38}{4}\\&\qquad x^2-5x+\frac{25}{4}+y^2+3y+\frac{9}{4}=\frac{38}{4}\\&\qquad x^2+y^2-5x+3y+\frac{25+9}{4}=\frac{38}{4}\\&\qquad x^2+y^2-5x+3y+\frac{34}{4}=\frac{38}{4}\\&\qquad x^2+y^2-5x+3y+\frac{34-38}{4}=0\\&\qquad x^2+y^2-5x+3y+\frac{-4}{4}=0\\&\therefore\ \large\text{$\begin{aligned}\boxed{\vphantom{\Big|}\,L':x^2+y^2-5x+3y-1=0\,}\end{aligned}$}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 11 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>