(x + 1/x)² = 3

x⁹⁰ + x⁸⁴ + x¹⁸ + x¹² + 1 = ?

jawab :

pertama, kita cari hasil dari (x + 1/x)² = 3. jangan dicari nilai x.

(x + 1/x)² = 3

x² + 1/x² + 2(x)(1/x) = 3

x² + 1/x² + 2 = 3

x² + 1/x² - 1 = 0 (persamaan 1)

sudah diketahui persamaan baru.

jika dilihat pada pertanyaannya, x⁹⁰ + x⁸⁴ + x¹⁸ + x¹² + 1 mempunyai faktor x⁶ + 1. kita cari nilai dari x⁶ + 1.

tapi sebelum itu, cari persamaan yang baru. kalikan dengan x² setiap ruas.

x² + 1/x² = 1

x²(x² + 1/x²) = 1(x²)

x⁴ + 1 = x²

x⁴ - x² + 1 = 0 (persamaan 2)

terakhir, cari persamaan baru. kalikan dengan x² lagi..

x²(x⁴ - x² + 1) = 0(x²)

x⁶ - x⁴ + x² = 0 (persamaan 3)

lalu jumlahkan persamaan 2 dan 3

x⁴ - x² + 1 = 0

x⁶ - x⁴ + x² = 0

--------------------- +

x⁶ + 1 = 0

kita faktorkan x⁹⁰ + x⁸⁴ + x¹⁸ + x¹² + 1

x⁹⁰ + x⁸⁴ + x¹⁸ + x¹² + 1

x⁸⁴(x⁶ + 1) + x¹²(x⁶ + 1) + 1

subsitusikan nilai x⁶ + 1..

x⁸⁴(0) + x¹²(0) + 1

= 1

maka, jawabannya adalah 1