Bilangan a724b habis dibagi 13, maka nilai dari a×b adalah

Berikut ini adalah pertanyaan dari coffobsezes pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Bilangan a724b habis dibagi 13, maka nilai dari a×b adalah:

0, untuk a=9 dan b=0,
8, untuk a=4 dan b=2,
24, unuk a=8 dan b=3,
15, untuk a=3 dan b=5,
42, untuk a=7 dan b=6,
16, untuk a=2 dan b=8,
54, untuk a=6 dan b=9.

Ada 7 kemungkinan nilai a×b, karena terdapat 7 pasangan (a,b) yang memenuhi.
 

Pembahasan

Untuk mencari bilangan $\overline{a724b}$ yang habis dibagi 13, kita dapat menggunakan:

keterbagian bilangan bulat oleh 13, atau
aritmetika modular.

Kita gunakan cara pertama.

Penyelesaian

Ada beberapa aturan keterbagian bilangan bulat oleh 13. Salah satunya adalah:
Sebuah bilangan habis dibagi 13 jika hasil penjumlahan dan pengurangan bergantian dari setiap kelompok 3 angka pada bilangan tersebut, mulai dari kanan hingga awal bilangan habis dibagi 13.

Contohnya: 13.143 habis dibagi 13, karena 143–13 = 130 habis dibagi 13.

Jadi, agar bilangan $\overline{a724b}$ habis dibagi 13, $a$ dan $b$ harus memenuhi:

$\begin{aligned}&13\mid\left(\overline{24b}-\overline{a7}\right)\\&\Rightarrow 13\mid\left(240+b-(10a+7)\right)\\&\Rightarrow 13\mid\left(b-10a+233\right)\\&\Rightarrow 13\mid\left(b-10a+221+12\right)\\&\Rightarrow 13\mid\left(b-10a+(17\cdot13)+13-1\right)\\&\Rightarrow 13\mid\left(b-10a-1\right)\\&\Rightarrow 13\mid\left(b-(13-3)a-1\right)\\&\Rightarrow 13\mid\left(b-13a+3a-1\right)\\&\Rightarrow 13\mid\left(b+3a-1\right)\\\end{aligned}$

Perhatikan $13\mid\left(b+3a-1\right)$ . Jika $b-1$ merupakan kelipatan 3 dan tidak sama dengan 0, maka ruas kanan dapat disederhanakan menjadi $3(a+m)$ , yang menyebabkan tidak ada solusi karena $a+m$ harus habis dibagi 13, padahal rentang nilai $a$ adalah $0 < a \le 9$ .

Oleh karena itu, terdapat kasus yang tidak memiliki solusi, yaitu ketika $b=4$ atau $b=7$ .

Kita telusuri setiap kasus dengan menetapkan nilai $b$ terlebih dahulu.

Jika $b=0$ , maka $13\mid(3a-1)\implies 3a=1+13k$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Terpenuhi oleh $k=2, 5, ...$ untuk nilai $a$ positif.
Namun $k=5$ menyebabkan $3a=1+65=66\implies a=22 > 9$ .
Oleh karena itu, $k=2$ sehingga $3a=1+26=27\implies a=9$ .
Periksa: 97240 = 13×7480 ⇒ habis dibagi 13.
⇒ $a=9, b=0 \implies a\times b=\boxed{\bf0}$
Jika $b=1$ , maka $13\mid3a\implies a=13k$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
$a$ harus bernilai 0 atau bilangan 2 angka kelipatan 13.
⇒ tidak ada nilai $a$ yang memenuhi.
Jika $b=2$ , maka $13\mid(3a+1)\implies 3a=13k-1$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Terpenuhi oleh $k=1, 4, ...$ untuk nilai $a$ positif.
Namun $k=4$ menyebabkan $3a=52-1=51\implies a=17 > 9$ .
Oleh karena itu, $k=1$ sehingga $3a=13-1=12\implies a=4$ .
Periksa: 47242 = 13×3634 ⇒ habis dibagi 13.
⇒ $a=4, b=2 \implies a\times b=\boxed{\bf8}$
Jika $b=3$ , maka $13\mid(3a+2)\implies 3a=13k-2$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Terpenuhi oleh $k=2, 5, ...$ untuk nilai $a$ positif.
Namun $k=5$ menyebabkan $3a=65-2=63\implies a=21 > 9$ .
Oleh karena itu, $k=2$ sehingga $3a=26-2=24\implies a=8$ .
Periksa: 87243 = 13×6711 ⇒ habis dibagi 13.
⇒ $a=8, b=3 \implies a\times b=\boxed{\bf24}$
Jika $b=5$ , maka $13\mid(3a+4)\implies 3a=13k-4$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Terpenuhi oleh $k=1, 4, ...$ untuk nilai $a$ positif.
Namun $k=4$ menyebabkan $3a=52-4=48\implies a=16 > 9$ .
Oleh karena itu, $k=1$ sehingga $3a=13-4=9\implies a=3$ .
Periksa: 37245 = 13×2865 ⇒ habis dibagi 13.
⇒ $a=3, b=5 \implies a\times b=\boxed{\bf15}$
Jika $b=6$ , maka $13\mid(3a+5)\implies 3a=13k-5$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Terpenuhi oleh $k=2, 5, ...$ untuk nilai $a$ positif.
Namun $k=5$ menyebabkan $3a=65-5=60\implies a=20 > 9$ .
Oleh karena itu, $k=2$ sehingga $3a=26-5=21\implies a=7$ .
Periksa: 77246 = 13×5942 ⇒ habis dibagi 13.
⇒ $a=7, b=6 \implies a\times b=\boxed{\bf42}$
Jika $b=8$ , maka $13\mid(3a+7)\implies 3a=13k-7$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Terpenuhi oleh $k=1, 4, ...$ untuk nilai $a$ positif.
Namun $k=4$ menyebabkan $3a=52-7=45\implies a=15 > 9$ .
Oleh karena itu, $k=1$ sehingga $3a=13-7=6\implies a=2$ .
Periksa: 27248 = 13×2096 ⇒ habis dibagi 13.
⇒ $a=2, b=8 \implies a\times b=\boxed{\bf16}$
Jika $b=9$ , maka $13\mid(3a+8)\implies 3a=13k-8$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Terpenuhi oleh $k=2, 5, ...$ untuk nilai $a$ positif.
Namun $k=5$ menyebabkan $3a=65-8=57\implies a=19 > 9$ .
Oleh karena itu, $k=2$ sehingga $3a=26-8=18\implies a=6$ .
Periksa: 67249 = 13×5173 ⇒ habis dibagi 13.
⇒ $a=6, b=9 \implies a\times b=\boxed{\bf54}$