Tentukan luas dan pusat massa dari daerah yang dibatasi

Berikut ini adalah pertanyaan dari putrantoyhwar3 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\textsf{Luas}=\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\:\bf\frac{13}{12}\ satuan\ luas\:}\end{aligned}$}$

$\textsf{Pusat massa}=\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\:C\left(\bf\frac{17}{26},\ \frac{137}{130}\right)\:}\end{aligned}$}$
 

Pembahasan

Aplikasi Integral: Luas Daerah dan Pusat Massa

Kita dapat menyelesaikan persoalan ini setidaknya dengan menggunakan 2 cara. Untuk memperjelas penyelesaian, saya sertakan gambar. Daerah yang dicari luasnya dapat dibagi menjadi dua daerah, yaitu:

$R_1$ : daerah di bawah $y=x^2+1$ dan di atas $y=x$ , pada selang $0 \le x \le a$ , di mana $a$ adalah absis titik potong kurva $y=x^2+1$ dengan garis $y=3-x$ , dan
$R_2$ : daerah di bawah $y=3-x$ dan di atas $y=x$ , pada selang $a \le x \le b$ , di mana $b$ adalah absis titik potong garis $y=3-x$ dengan garis $y=x$ .

Untuk $a$ :

$\begin{aligned}3-x&=x^2+1\\x^2+x-2&=0\\(x-1)(x+2)&=0\\x=1\ \lor\ x&=-2\\\therefore\ a=\bf1\end{aligned}$
(Yang diambil adalah $x=1$ , sehingga $a=1$ .)

Untuk $b$ :

$\begin{aligned}x&=3-x\\2x&=3\implies x=\frac{3}{2}\\\therefore\ b&=\bf\frac{3}{2}\end{aligned}$

CARA PERTAMA

Menentukan Luas Daerah

$\begin{aligned}\bf L&=L_{1}+L_{2}\\&=\int\limits_0^1{\left(x^2+1-x\right)dx}+\int\limits_1^{3/2}{(3-x-x)\,dx}\\&=\int\limits_0^1{\left(x^2-x+1\right)dx}+\int\limits_1^{3/2}{(3-2x)\,dx}\\&=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right]_0^1+\Big[3x-x^2\Big]_1^{3/2}\\&=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}-\left(3-1\right)\\&=\frac{5}{6}+\frac{1}{4}\implies\boxed{L_1=\frac{5}{6}\,,\ L_2=\frac{1}{4}}\\&=\frac{10+3}{12}\end{aligned}$

$\therefore\ \bf L=\boxed{\:\bf\frac{13}{12}\approx\bf1{,}08333\ satuan\ luas\:}$

Menentukan Pusat Massa

Pusat massa dari daerah tersebut adalah $C(\overline{x}, \overline{y})$ , di mana:

$\begin{aligned}&\bullet&\overline{x}&=\frac{\sum\limits_{i=1}^{2}\overline{x}_{i}\cdot L_{i}}{\sum\limits_{i=1}^{2}L_{i}}\\&&&=\frac{x_1L_1+x_2L_2}{L}\\&\bullet&\overline{y}&=\frac{\sum\limits_{i=1}^{2}\overline{y}_{i}\cdot L_{i}}{\sum\limits_{i=1}^{2}L_{i}}\\&&&=\frac{y_1L_1+y_2L_2}{L}\\\end{aligned}$

dengan $C_1(\overline{x}_1,\overline{y}_1)$ dan $C_2(\overline{x}_2,\overline{y}_2)$ berturut-turut menyatakan pusat massa dari daerah $R_1$ dan $R_2$ .

$\begin{aligned}\overline{x}_i&=\frac{1}{L_i}\int_{a_i}^{b_i}x[f(x)-g(x)]\,dx\\\Rightarrow \overline{x}_iL_i&=\int_{a_i}^{b_i}x[f(x)-g(x)]\,dx\end{aligned}$

$\begin{aligned}\overline{x}_1L_1&=\int_0^1{x\left(x^2+1-x\right)dx}\\&=\int_0^1{\left(x^3-x^2+x\right)dx}\\&=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1\\&=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\\\overline{x}_1L_1&=\bf\frac{5}{12}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\overline{x}_2L_2&=\int_1^{3/2}{x\left(3-2x\right)dx}\\&=\int_1^{3/2}{\left(3x-2x^2\right)dx}\\&=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{2x^3}{3}\right]_1^{3/2}\\&=\frac{27}{8}-\frac{27}{12}-\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3} \right)\\&=\frac{81-54-36+16}{24}\\\overline{x}_2L_2&=\bf\frac{7}{24}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\overline{y}_i&=\frac{1}{2L_i}\int_{a_i}^{b_i}\left[(f(x))^2-(g(x))^2\right]\,dx\\\Rightarrow \overline{y}_iL_i&=\frac{1}{2}\int_{a_i}^{b_i}\left[(f(x))^2-(g(x))^2\right]\,dx\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\overline{y}_1L_1&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[\left(x^2+1\right)^2-x^2\right]dx\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[x^4+x^2+1\right]\,dx\\&=\frac{1}{2}\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}+x\right]_{0}^{1}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+1\right)\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{23}{15}\\\overline{y}_1L_1&=\bf\frac{23}{30}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\overline{y}_2L_2&=\frac{1}{2}\int_{1}^{3/2}\left[(3-x)^2-x^2\right]dx\\&=\frac{1}{2}\int_{1}^{3/2}\left[9-6x\right]\,dx\\&=\frac{3}{2}\int_{1}^{3/2}\left[3-2x\right]\,dx\\&=\frac{3}{2}\left[3x-x^2\right]_{1}^{3/2}\\&=\frac{3}{2}L_2=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}\\\overline{y}_2L_2&=\bf\frac{3}{8}\end{aligned}$

Pusat massa daerah tersebut adalah:

$\begin{aligned}C(\overline{x},\overline{y})&=C\left(\frac{x_1L_1+x_2L_2}{L},\ \frac{y_1L_1+y_2L_2}{L}\right)\\&=C\left(\frac{5/12\:+\:7/24}{13/12},\ \frac{23/30\:+\:3/8}{13/12}\right)\\&=C\left(\frac{10/24\:+\:7/24}{26/24},\ \frac{92/120\:+\:45/120}{130/120}\right)\\&=C\left(\frac{17/24}{26/24},\ \frac{137/120}{130/120}\right)\\C(\overline{x},\overline{y})&=\boxed{\:C\left(\bf\frac{17}{26},\ \frac{137}{130}\right)\:}\\&\approx\boxed{\:C\left(\bf0{,}65385,\ 1{,}05385\right)\:}\end{aligned}$

CARA KEDUA: Integral Lipat

Kita bisa juga menggunakan integral lipat untuk menentukan luas daerah dan pusat massa.
Namun, karena teks jawaban ini (termasuk latexnya) melebihi batas maksimum konten jawaban (5000 karakter), maka tidak dapat dimuat.

$[tex]\textsf{Luas}=\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\:\bf\frac{13}{12}\ satuan\ luas\:}\end{aligned}$}[/tex][tex]\textsf{Pusat massa}=\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\:C\left(\bf\frac{17}{26},\ \frac{137}{130}\right)\:}\end{aligned}$}[/tex] PembahasanAplikasi Integral: Luas Daerah dan Pusat MassaKita dapat menyelesaikan persoalan ini setidaknya dengan menggunakan 2 cara. Untuk memperjelas penyelesaian, saya sertakan gambar. Daerah yang dicari luasnya dapat dibagi menjadi dua daerah, yaitu:[tex]R_1[/tex]: daerah di bawah [tex]y=x^2+1[/tex] dan di atas [tex]y=x[/tex], pada selang [tex]0 \le x \le a[/tex], di mana [tex]a[/tex] adalah absis titik potong kurva [tex]y=x^2+1[/tex] dengan garis [tex]y=3-x[/tex], dan[tex]R_2[/tex]: daerah di bawah [tex]y=3-x[/tex] dan di atas [tex]y=x[/tex], pada selang [tex]a \le x \le b[/tex], di mana [tex]b[/tex] adalah absis titik potong garis [tex]y=3-x[/tex] dengan garis [tex]y=x[/tex].Untuk [tex]a[/tex]:[tex]\begin{aligned}3-x&=x^2+1\\x^2+x-2&=0\\(x-1)(x+2)&=0\\x=1\ \lor\ x&=-2\\\therefore\ a=\bf1\end{aligned}[/tex](Yang diambil adalah [tex]x=1[/tex], sehingga [tex]a=1[/tex].)Untuk [tex]b[/tex]:[tex]\begin{aligned}x&=3-x\\2x&=3\implies x=\frac{3}{2}\\\therefore\ b&=\bf\frac{3}{2}\end{aligned}[/tex]CARA PERTAMAMenentukan Luas Daerah[tex]\begin{aligned}\bf L&=L_{1}+L_{2}\\&=\int\limits_0^1{\left(x^2+1-x\right)dx}+\int\limits_1^{3/2}{(3-x-x)\,dx}\\&=\int\limits_0^1{\left(x^2-x+1\right)dx}+\int\limits_1^{3/2}{(3-2x)\,dx}\\&=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right]_0^1+\Big[3x-x^2\Big]_1^{3/2}\\&=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}-\left(3-1\right)\\&=\frac{5}{6}+\frac{1}{4}\implies\boxed{L_1=\frac{5}{6}\,,\ L_2=\frac{1}{4}}\\&=\frac{10+3}{12}\end{aligned}[/tex][tex]\therefore\ \bf L=\boxed{\:\bf\frac{13}{12}\approx\bf1{,}08333\ satuan\ luas\:}[/tex]Menentukan Pusat MassaPusat massa dari daerah tersebut adalah [tex]C(\overline{x}, \overline{y})[/tex], di mana:[tex]\begin{aligned}&\bullet&\overline{x}&=\frac{\sum\limits_{i=1}^{2}\overline{x}_{i}\cdot L_{i}}{\sum\limits_{i=1}^{2}L_{i}}\\&&&=\frac{x_1L_1+x_2L_2}{L}\\&\bullet&\overline{y}&=\frac{\sum\limits_{i=1}^{2}\overline{y}_{i}\cdot L_{i}}{\sum\limits_{i=1}^{2}L_{i}}\\&&&=\frac{y_1L_1+y_2L_2}{L}\\\end{aligned}[/tex]dengan [tex]C_1(\overline{x}_1,\overline{y}_1)[/tex] dan [tex]C_2(\overline{x}_2,\overline{y}_2)[/tex] berturut-turut menyatakan pusat massa dari daerah [tex]R_1[/tex] dan [tex]R_2[/tex].[tex]\begin{aligned}\overline{x}_i&=\frac{1}{L_i}\int_{a_i}^{b_i}x[f(x)-g(x)]\,dx\\\Rightarrow \overline{x}_iL_i&=\int_{a_i}^{b_i}x[f(x)-g(x)]\,dx\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\overline{x}_1L_1&=\int_0^1{x\left(x^2+1-x\right)dx}\\&=\int_0^1{\left(x^3-x^2+x\right)dx}\\&=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1\\&=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\\\overline{x}_1L_1&=\bf\frac{5}{12}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\overline{x}_2L_2&=\int_1^{3/2}{x\left(3-2x\right)dx}\\&=\int_1^{3/2}{\left(3x-2x^2\right)dx}\\&=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{2x^3}{3}\right]_1^{3/2}\\&=\frac{27}{8}-\frac{27}{12}-\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3} \right)\\&=\frac{81-54-36+16}{24}\\\overline{x}_2L_2&=\bf\frac{7}{24}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\overline{y}_i&=\frac{1}{2L_i}\int_{a_i}^{b_i}\left[(f(x))^2-(g(x))^2\right]\,dx\\\Rightarrow \overline{y}_iL_i&=\frac{1}{2}\int_{a_i}^{b_i}\left[(f(x))^2-(g(x))^2\right]\,dx\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\overline{y}_1L_1&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[\left(x^2+1\right)^2-x^2\right]dx\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[x^4+x^2+1\right]\,dx\\&=\frac{1}{2}\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}+x\right]_{0}^{1}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+1\right)\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{23}{15}\\\overline{y}_1L_1&=\bf\frac{23}{30}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\overline{y}_2L_2&=\frac{1}{2}\int_{1}^{3/2}\left[(3-x)^2-x^2\right]dx\\&=\frac{1}{2}\int_{1}^{3/2}\left[9-6x\right]\,dx\\&=\frac{3}{2}\int_{1}^{3/2}\left[3-2x\right]\,dx\\&=\frac{3}{2}\left[3x-x^2\right]_{1}^{3/2}\\&=\frac{3}{2}L_2=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}\\\overline{y}_2L_2&=\bf\frac{3}{8}\end{aligned}[/tex]Pusat massa daerah tersebut adalah:[tex]\begin{aligned}C(\overline{x},\overline{y})&=C\left(\frac{x_1L_1+x_2L_2}{L},\ \frac{y_1L_1+y_2L_2}{L}\right)\\&=C\left(\frac{5/12\:+\:7/24}{13/12},\ \frac{23/30\:+\:3/8}{13/12}\right)\\&=C\left(\frac{10/24\:+\:7/24}{26/24},\ \frac{92/120\:+\:45/120}{130/120}\right)\\&=C\left(\frac{17/24}{26/24},\ \frac{137/120}{130/120}\right)\\C(\overline{x},\overline{y})&=\boxed{\:C\left(\bf\frac{17}{26},\ \frac{137}{130}\right)\:}\\&\approx\boxed{\:C\left(\bf0{,}65385,\ 1{,}05385\right)\:}\end{aligned}[/tex]CARA KEDUA: Integral LipatKita bisa juga menggunakan integral lipat untuk menentukan luas daerah dan pusat massa. Namun, karena teks jawaban ini (termasuk latexnya) melebihi batas maksimum konten jawaban (5000 karakter), maka tidak dapat dimuat.$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 28 Sep 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Tentukan luas dan pusat massa dari daerah yang dibatasi ​

Jawaban dan Penjelasan

Pembahasan

Aplikasi Integral: Luas Daerah dan Pusat Massa

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika

Tentukan luas dan pusat massa dari daerah yang dibatasi