a.

Ambil sebarang x ∈ Z

Jika x ≤ 0, pilih y = 1 ∈ R*, sehingga xy < 1 (karena xy pasti akan bernilai negatif atau 0).

Jika x > 0, pilih y = 1/(x + 1) ∈ R*, maka xy = (x)(1/(x + 1)) = x/(x + 1) = (x + 1 - 1)/(x + 1) = 1 - (1/(x + 1))

`

Karena x > 0, maka 1/(x + 1) > 0. Akibatnya, 1 - 1/(x + 1) < 1

Jadi, akan didapatkan xy < 1.

Berdasarkan pengerjaan tersebut, (a) bernilai benar.

===

b.

Pernyataan (b) tidaklah benar. Artinya, harus dibuktikan bahwa untuk setiap y ∈ R*, terdapat x ∈ Z sedemikian sehingga xy ≥ 1.

Ambil sebarang y ∈ R*

Misalkan y ≤ -1 dan tulis y = -k. Pilih x = -ceil(y) ∈ Z, di mana ceil(y) adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan y, maka

xy = -(ceil(k))(-k) = (ceil(k))(k) = (k + p)(k), dengan p suatu konstanta.

Karena k ≥ 1, dan p ≥ 0, maka (k + p)(k) ≥ 1

Misalkan -1 < y < 0 dan tulis y = -k. Pilih x = -ceil(1/k) ∈ Z, maka

xy = -ceil(1/k)(-k) = -(1/k + p)(-k) = (1 + kp), dengan p suatu konstanta.

Karena 0 < k < 1 dan p ≥ 0, maka 1 + kp ≥ 1. Akibatya, xy ≥ 1

Jika 0 < y < 1, pilih x = ceil(1/y) ∈ Z

maka, xy = ceil(1/y)(y) = (1/y + p)y = 1 + py, dengan p suatu konstanta.

Karena 0 < y < 1 dan p ≥ 0, maka 1 + py ≥ 1. Akibatnya, xy ≥ 1

Jika y ≥ 1, pilih Z = ceil(y) ∈ Z

maka, xy = (ceil(y))(y) = (y + p)(y), dengan p suatu konstanta.

Karena y ≥ 1 dan p ≥ 0, maka (y + p)(y) ≥ 1

Berdasarkan pengerjaan tersebut, (b) bernilai salah.