Terdapat matriks: A = . Terdapat pula matriks yang dapat mendiagonalisasimatriksA, sebut saja matriks P. Matriks tersebut adalah P = . Matriks ini diperoleh dengan konsep nilai dan vektor eigen.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

A =

Ditanya: Pyang mendiagonalisasi matriksA

Jawab:

• Persamaan karakteristik

|A-λI| = 0

(1-λ)[(2-λ)(7-λ)-0·(-9)]-0[2(7-λ)-0·4]+0[2(-9)-(2-λ)4] = 0

(1-λ)[(2-λ)(7-λ)-0]-0+0 = 0

(1-λ)(2-λ)(7-λ) = 0

• Nilai eigen

Solusi persamaan karakteristik di atas menjadi nilai eigen matriks A. Nilai-nilai tersebut adalah 1, 2, dan 7.

• Basis ruang eigen untuk nilai eigen 1

Matriks koefisien dari (A-I)x =0adalah:

Dari matriks di atas, diperoleh:

2x₁+x₂ = 0 → x₂ = -2x₁

4x₁-9x₂+6x₃ = 0 → 4x₁-9(-2x₁) = -6x₃ → 4x₁+18x₁ = -6x₃ → 22x₁ = -6x₃ → x₃ = -¹¹⁄₃x₁

sehingga:

Oleh karena itu, basis ruang eigen untuk nilai eigen 1 adalah:

• Basis ruang eigen untuk nilai eigen 2

Matriks koefisien dari (A-2I)x =0adalah:

Dari matriks di atas, diperoleh:

-x₁ = 0 → x₁ = 0

2x₁ = 0 → x₁ = 0

4x₁-9x₂+5x₃ = 0 → 4·0-9x₂ = -5x₃ → -9x₂ = -5x₃ → x₂ = ⁵⁄₉x₃

sehingga:

Oleh karena itu, basis ruang eigen untuk nilai eigen 2 adalah:

• Basis ruang eigen untuk nilai eigen 7

Matriks koefisien dari (A-7I)x =0adalah:

Dari matriks di atas, diperoleh:

-6x₁ = 0 → x₁ = 0

2x₁-5x₂ = 0 → 2·0-5x₂ = 0 → -5x₂ = 0 → x₂ = 0

4x₁-9x₂ = 0 (nilai ini akan sama saja dengan sebelumnya)

sehingga:

Oleh karena itu, basis ruang eigen untuk nilai eigen 7 adalah:

• Matriks P yang mendiagonalisasi matriks A

Karena ada tiga buah vektor basis (sesuai dengan ordo matriks A), maka matriks A dapat didiagonalkan. Vektor-vektor tersebut menjadi kolom-kolom matriks P, sehingga:

P =

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Menentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Suatu Matriks yomemimo.com/tugas/23313409

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1