1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis (5 soal) (1.) Cari {x, y} jika x³+y³ = x⁵

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (5 soal)(1.) Cari {x, y} jika x³+y³ = x⁵ dan x²-x-y = 0 {x, y E R}

(2.) Tentukan titik balik dari x²-x-y = 0

(3.) Titik-titik potong sumbu x, dan titik balik dari x²-x-y = 0 disambungkan untuk membentuk sebuah segitiga sama kaki, tentukan luas segitiga tersebut.

(4.) Lalu dari segitiga yang tadi tentukan keliling segitiga tersebut.

(5.) Buktikan jika luas yg dibatasi dua buah fungsi di nomor (1.) pada kuadran IV itu 66 ⅔ % lebih besar daripada luas segitiga yg ditemukan di nomor (3.)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

  1. Jika x³ + y³ = x⁵danx² – x – y = 0 {x, y ∈ ℝ}, maka:
  2. (x, y) ∈ {(0, 0), (1, 0), (3, 6)}
  3. Titik balik dari x² – x – y = 0 adalah (½, –¼).
  4. Luas segitiga yang terbentuk dari titik-titik potong sumbu x dan titik balik dari x² – x – y = 0 adalah 1/8 satuan luas.
  5. Keliling segitiga yang diperoleh pada soal no. 3 adalah ½(2 + √5) satuan.
  6. Pernyataan bahwa "Luas yg dibatasi dua buah fungsi di nomor (1.) pada kuadran IV itu 66 ⅔ % lebih besar daripada luas segitiga yg ditemukan di nomor (3.)." TERBUKTI.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Soal (1.)

ASUMSI:

Kedua persamaan yang diberikan membentuk sebuah sistem persamaan.

Dari persamaan pertama:

y^3=x^5-x^3=x^3\left(x^2-1\right)

Jika y^3=f(x), maka terdapat 3 solusi, yaitu 1 solusi untuk x, y ∈ ℝ, dan 2 solusi lainnya untuk y ∈ ℂ, x ∈ ℝ.

Dengan x, y ∈ ℝ:

\begin{aligned}y&=\sqrt[3]{x^3\left(x^2-1\right)}\\y&=x\sqrt[3]{x^2-1}\quad...(3)\end{aligned}

Sedangkan dari persamaan kedua:

y=x^2-x=x(x-1)

Substitusi ke persamaan (3);

\begin{aligned}x(x-1)&=x\sqrt[3]{x^2-1}\\x-1&=\sqrt[3]{x^2-1}\\x^3-3x^2+3x-1&=x^2-1\\x^3-3x^2+3x&=x^2\\x^3-4x^2+3x&=0\\x\left(x^2-4x+3\right)&=0\\x(x-1)(x-3)&=0\\\end{aligned}

\begin{cases}x=0\ \Rightarrow &y=0\\x=1\ \Rightarrow &y=0\\x=3\ \Rightarrow &y=3\sqrt[3]{8}=6\\\end{cases}

∴ (x, y) ∈ {(0, 0), (1, 0), (3, 6)}

\blacksquare

Soal (2.)

x² – x – y = 0

⇒ a = 1, b = –1, c = 0

Titik balik fungsi kuadrat adalah titik puncaknya. Maka, titik balik x² – x – y = 0 adalah:

\begin{aligned}\left(x_P,\ y_P\right)&=\left(\frac{-b}{2a},\ \frac{-D}{4a}\right)\\&=\left(\frac{-b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)\\&=\left(\frac{1}{2},\ \frac{0-1}{4}\right)\\\left(x_P,\ y_P\right)&=\left(\frac{1}{2},\ -\frac{1}{4}\right)\\\end{aligned}

∴ Titik balik = (½, –¼).

\blacksquare

Soal (3.)

Titik-titik potong kurva fungsi kuadrat y = f(x) dengan sumbu x (jika ada) memiliki absis sama dengan akar-akar f(x) = 0.

Kita bisa mencari akar-akar tersebut, yang secara implisit sudah ditemukan pada penyelesaian soal no. 1, kemudian menghitung luas segitiga dengan alas sebesar selisih akar-akarnya dan tinggi sebesar nilai mutlak ordinat titik puncaknya.

Kali ini, kita hitung dengan cara lain saja.

Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c – y = 0 adalah –b/(2a) ± (√D)/(2a), sehingga selisih kedua akar tersebut adalah (√D)/a.

Maka:

\begin{aligned}L_{\triangle ABP}&=\frac{\Delta x\cdot t}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{D}}{a}\cdot\frac{\sqrt{D}}{4a}\\&=\frac{D}{8a^2}=\frac{b^2-4ac}{8a^2}\\&\quad(a=1,\ b=-1,\ c=0)\\&=\frac{1-0}{8}\\\therefore\ L_{\triangle ABP}&=\boxed{\,\bf\frac{1}{8}\ satuan\ luas\,}\end{aligned}

\blacksquare

Soal (4.)

Dari penyelesaian sebelumnya:

Alas = Δx = (√D)/a

⇒ Alas = [√(1–0)]/1

⇒ Alas = 1

\begin{aligned}K&=a+2\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+t^2}\\&=a+2\sqrt{\frac{a^2}{4}+t^2}\\&=a+\sqrt{{a}^2+4{t}^2}\\&\quad\left(a=1,\ t=\frac{1}{4}\right)\\&=1+\sqrt{1+4\cdot\frac{1}{16}}\\&=1+\sqrt{\frac{5}{4}}\\\therefore\ K&=\boxed{\,\bf1+\frac{1}{2}\sqrt{5}\ satuan\,}\\K&=\boxed{\,\bf\frac{1}{2}\left(2+\sqrt{5}\right)\ satuan\,}\end{aligned}

\blacksquare

Soal (5.)

Dari penyelesaian soal no. 1, titik-titik potong antara x³ + y³ = x⁵, x² – x – y = 0, dan sumbu x, adalah (0, 0) dan (1, 0).  

Tanpa menggambar grafiknya, saya asumsikan bahwa pada rentang 0 ≤ x ≤ 1, kurva x² – x – y = 0 berada di atas kurva x³ + y³ = x⁵, sehingga kurva x³ + y³ = x⁵ seluruhnya berada pada kuadran IV pada rentang nilai x tersebut.

Luas daerah yang dibatasi kedua fungsi tersebut pada kuadran IV, yaitu pada rentang 0 ≤ x ≤ 1, diberikan oleh:

\begin{aligned}L&=\int_0^1\left(x^2-x-x\sqrt[3]{x^2-1}\right)dx\\&=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1-\int_0^1\left(x\sqrt[3]{x^2-1}\right)dx\\&=-\frac{1}{6}-\int_0^1\left(x\sqrt[3]{x^2-1}\right)dx\\&\quad\textsf{Ambil $u=x^2-1\ \Rightarrow du=2xdx.$}\\&\quad\Rightarrow x\in[0,1]\implies u\in[-1,0]\\&=-\frac{1}{6}-\int_{-1}^0\frac{1}{2}\sqrt[3]{u}\,du\\&=-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\int_{-1}^0\sqrt[3]{u}\,du\end{aligned}

\begin{aligned}L&=-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt[3]{u^4}}{4/3}\right]_{-1}^0\\&=-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(0-\frac{1}{4/3}\right)\\&=-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(\frac{-3}{4}\right)\\&=-\frac{1}{6}+\frac{3}{8}\\&=\frac{1}{8}\left(-\frac{4}{3}+3\right)\\&=\frac{1}{8}\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{1}{8}\left(1+\frac{2}{3}\right)\\&=\frac{1}{8}\left(1+\frac{200}{3}\%\right)\\L&=L_{\triangle ABP}\left(1+\bf66\,\frac{2}{3}\%\right)\\\end{aligned}

Jadi, L lebih besar 66 ⅔ % dari L_{\triangle ABP}.

∴ Dengan demikian, pernyataan bahwa "Luas yg dibatasi dua buah fungsi di nomor (1.) pada kuadran IV itu 66 ⅔ % lebih besar daripada luas segitiga yg ditemukan di nomor (3.)." TERBUKTI.

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 04 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>