Akar-akar dari persamaan x³ +3x² -10x - 24=0 adalah x1,

Berikut ini adalah pertanyaan dari mitaameliaid pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Akar-akar dari persamaan x³ +3x² -10x - 24=0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai 1/x1 + 1/x2 +1/x3 adalah...a. -2/3
b. -5/12
c. -1/12
d. 5/12
e. 2/3

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Nilai } \: \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \: = - \frac{5}{12} \: \: (\bold{B}) \:. \\ \\$

PEMBAHASAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep akar-akar persamaan polinimial.

Operasi aljabar dari akar-akar persamaan polinomial dapat ditentukan hasilnya dengan menggunakan teorema Vieta.

Teorema Vieta

$\text{Misal } \: x_1 \:, x_2 \:, x_3 \: \text{ akar-akar persamaan } \: ax^3+bx^2+cx+d = 0 \: \text{ maka berlaku: } \\ \\ x_1+x_2+x_3 \: = - \frac{b}{a} \\ \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 \: = \frac{c}{a} \\ \\ x_1 x_2 x_3 \: = - \frac{d}{a} \\ \\$

DIKETAHUI :

$\text{Akar-akar dari persamaan } \: x^3 +3x^2 -10x - 24=0 \: \text{ adalah } \: x_1, x_2, \: \text{ dan } \: x_3 \: . \\ \\$

DITANYA :

$\text{Nilai } \: \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \: \:. \\ \\$

JAWAB :

Gunakan teorema Vietauntuk menentukan operasi akar-akar persamaan

$x^3 +3x^2 -10x - 24 \: = 0 \: \: \Leftrightarrow \: \: ax^3+bx^2+cx+d = 0 \\ \\$

Diperoleh :

$a = 1 \: \:, \: \: b = 3 \: \:, \: \: c =-10 \: \:, \: \text{ dan } \: d = -24 \: \:. \\ \\$

$\begin{aligned} x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 & \: = \frac{c}{a} \\ \\ \: & = \frac{-10}{1} \\ \\ \: & = -10 \\ \\ x_1 x_2 x_3 \: & = - \frac{d}{a} \\ \\ \: & = -\frac{(-24)}{1} \\ \\ \: & = 24 \\ \\ \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \: & = \frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{x_1 x_2 x_3} \\ \\ \: & = \frac{-10}{24} \\ \\ \: & = -\frac{5}{12} \\ \\ \end{aligned}$