1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Hasil dari [tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sec 4x~\sec 2x-1}{\sin x~\sin 5x}[/tex] adalah

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hasil dari\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sec 4x~\sec 2x-1}{\sin x~\sin 5x}
adalah ...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari \displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sec4xsec2x-1}{sinxsin5x}}adalah2.

PEMBAHASAN

Teorema pada limit adalah sebagai berikut :

(i)~\lim\limits_{x \to c} f(x)=f(c)

(ii)~\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k\lim\limits_{x \to c} f(x)

(iii)~\lim\limits_{x \to c} [f(x)\pm g(x)]=\lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)

(iv)~\lim\limits_{x \to c} [f(x)\times g(x)]=\lim\limits_{x \to c} f(x)\times\lim\limits_{x \to c} g(x)

\displaystyle{(v)~\lim\limits_{x \to c} \left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]=\frac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)} }

(vi)~\lim\limits_{x \to c} \left [ f(x) \right ]^n=\left [ \lim\limits_{x \to c} f(x) \right ]^n

Rumus untuk limit fungsi trigonometri :

\displaystyle{(i)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{sinax}{bx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{tanax}{bx}=\frac{a}{b} }

\displaystyle{(ii)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{ax}{sinbx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{ax}{tanbx}=\frac{a}{b} }

\displaystyle{(iii)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{sinax}{sinbx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{tanax}{tanbx}=\frac{a}{b} }

\displaystyle{(iv)~\lim\limits_{x \to a} \frac{sin(x-a)}{(x-a)}=\lim\limits_{x \to a} \frac{tan(x-a)}{(x-a)}=1 }

.

DIKETAHUI

\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sec4xsec2x-1}{sinxsin5x}= }

.
DITANYA

Tentukan nilainya.

.

PENYELESAIAN

\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sec4xsec2x-1}{sinxsin5x}}

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{cos4xcos2x}-1}{sinxsin5x}}

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1-cos4xcos2x}{cos4xcos2x}}{sinxsin5x}}

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{1-cos4xcos2x}{sinxsin5xcos4xcos2x} }

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{1-cos4xcos2x}{sinxsin5x}\times\lim_{x \to 0} \frac{1}{cos4xcos2x} }

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{1-cos4xcos2x}{sinxsin5x}\times\frac{1}{cos4(0)cos2(0)} }

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{1-cos4xcos2x}{sinxsin5x}\times1 }

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{1-cos4xcos2x}{sinxsin5x} }

---------------

Gunakan rumus :

2cos\alpha cos\beta=cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)

---------------

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{1-\frac{cos(4x+2x)+cos(4x-2x)}{2}}{sinxsin5x} }

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2-cos6x-cos2x}{2}}{sinxsin5x} }

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{2-cos6x-cos2x}{2sinxsin5x} }

\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{(1-cos6x)+(1-cos2x)}{sinxsin5x} }

---------------

Gunakan identitas cos2\theta=1-2sin^2\theta

---------------

\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{[1-(1-2sin^23x)]+[1-(1-2sin^2x)]}{sinxsin5x} }

\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{2sin^23x+2sin^2x}{sinxsin5x} }

\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{2(sin^23x+sin^2x)}{sinxsin5x} }

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{sin^23x+sin^2x}{sinxsin5x}\times\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} }

\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{sin^23x}{x^2}+\frac{sin^2x}{x^2}}{\frac{sinx}{x}\frac{sin5x}{x}} }

\displaystyle{= \frac{\lim\limits_{x \to 0} \left [ \frac{sin^23x}{x^2}+\frac{sin^2x}{x^2} \right ]}{\lim\limits_{x \to 0} \left [ \frac{sinx}{x}\frac{sin5x}{x} \right ]} }

\displaystyle{= \frac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin^23x}{x^2}+\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin^2x}{x^2}}{\lim\limits_{x \to 0} \frac{sinx}{x}\times\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin5x}{x}} }

\displaystyle{= \frac{\lim\limits_{x \to 0} \left ( \frac{sin3x}{x} \right )^2+\lim\limits_{x \to 0} \left ( \frac{sinx}{x} \right )^2}{\frac{1}{1}\times\frac{5}{1}} }

\displaystyle{= \frac{ \left ( \lim\limits_{x \to 0} \frac{sin3x}{x} \right )^2+ \left ( \lim\limits_{x \to 0}\frac{sinx}{x} \right )^2}{5} }

\displaystyle{= \frac{ \left ( \frac{3}{1} \right )^2+ \left ( \frac{1}{1} \right )^2}{5} }

\displaystyle{= \frac{10}{5} }

\displaystyle{=2 }

.

KESIMPULAN

Nilai dari \displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sec4xsec2x-1}{sinxsin5x}}adalah2.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Limit fungsi trigonometri : yomemimo.com/tugas/41998117
  2. Limit trigonometri : yomemimo.com/tugas/38915095
  3. Limit trigonometri : yomemimo.com/tugas/30308496

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Limit Fungsi

Kode Kategorisasi: 11.2.8

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 16 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>