Gunakan substitusi [tex]u=1 / x[/tex] untuk menun- [tex] \int_{0}^{\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+1}

Berikut ini adalah pertanyaan dari Tiaraputri1573 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Gunakan substitusi $u=1 / x$ untuk menun- $
\int_{0}^{\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+1} d x=0
$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti benar bahwa

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2+1}\,dx=0$

Pembahasan

Integral

Kita akan membuktikan bahwa

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2+1}\,dx=0$

dengan menggunakan substitusi $u=\dfrac{1}{x}$ .

Pembuktian

Kita akan menggunakan variabel $\bf I$ untuk nilai integralnya.

$\begin{aligned}\bf I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2+1}\,dx\\\\&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}\cdot\ln x\,dx\end{aligned}$

$.{\quad}\left[\ \begin{aligned}&u=\frac{1}{x}\\&\Rightarrow\ \frac{du}{dx}=-\frac{1}{x^2}\\&\Rightarrow\ du=-\frac{1}{x^2}\,dx\\&\Rightarrow\ dx=-x^2\,du=-\frac{1}{u^2}\,du\\&\Rightarrow\ \ln x=\ln\left(\tfrac{1}{u}\right)=-\ln u\\&\Rightarrow\ \frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{\frac{1}{u^2}+1}=\frac{u^2}{u^2+1}\\\\&\textsf{Batas-batas }u:\\&\bullet\ x=0\Rightarrow u=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty\\&\bullet\ x=\infty\Rightarrow u=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\end{aligned}\right.$

$\begin{aligned}\bf I&=\int_{\infty}^{0}\frac{\cancel{u^2}}{u^2+1}\cdot(-\ln u)\left(-\frac{1}{\cancel{u^2}}\right)\,du\\\\&=\int_{\infty}^{0}\frac{\ln u}{u^2+1}\,du\\\\&=-\int_{0}^{\infty}\frac{\ln u}{u^2+1}\,du\\\\{\bf I}&=-{\bf I}\ \Leftrightarrow\ {2\bf I}=0\ \Leftrightarrow\ {\bf I}=0\\\\\therefore&\ \boxed{\ \int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2+1}\,dx=0\ }\\&\:\blacksquare\end{aligned}$