1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis (susah): [1] Buktikan jika nilai n yg memenuhi pers. 3ⁿ +

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (susah):[1] Buktikan jika nilai n yg memenuhi
pers. 3ⁿ + 9ⁿ = 27ⁿ adalah ³ log φ

[2] Buktikan jika nilai n yg memenuhi
\displaystyle \rm n^{n^{n}}=cos^{csc\left(\frac{\pi}{4}\right)}\left(\frac{\pi}{3}\right)\:\:\:adalah\:\:\:\frac{1}{4}

[3] Buktikan jika 1 + 1 = 2 dengan
cara apapun . . .

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nomor 1
Terbukti bahwa nilai n yang memenuhi 3ⁿ + 9ⁿ = 27ⁿ adalah n = ³ log φ.

Nomor 2
Terbuktibahwa nilai n yang memenuhi
\large\text{$\begin{aligned}n^{n^{n}}=\cos^{\csc\left(\frac{\pi}{4}\right)}\left(\frac{\pi}{3}\right)\end{aligned}$}
adalah 1/4.

Nomor 3
Terbukti bahwa 1 + 1 =2 (menurut versi saya).
 

Pembahasan

Nomor 1

\begin{aligned}&3^n+9^n=27^n\\&\Rightarrow 3^n+3^{2n}=3^{3n}\\&\Rightarrow \cancel{3^n}\left(1+3^n\right)=\cancel{3^n}\cdot3^{2n}\\&\Rightarrow 1+3^n=3^{2n}\\&\Rightarrow 1+3^n=\left(3^n\right)^2\\&\Rightarrow \left(3^n\right)^2-3^n-1=0\\\end{aligned}

Ambil u = 3ⁿ.

\begin{aligned}&u^2-u-1=0\\&\Rightarrow u^2-u=1\\&\Rightarrow u^2-u+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}\\&\Rightarrow \left(u-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\\&\Rightarrow u-\frac{1}{2}=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\\&\Rightarrow u=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{aligned}

Substitusi kembali 3ⁿ menggantikan u.

\begin{aligned}&3^n=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\&\Rightarrow n={}^3\log\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)\end{aligned}

Numerus logaritma harus lebih dari 0. Maka nilai n yang memenuhi adalah:

\begin{aligned}n={}^3\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\end{aligned}

½(1 + √5) adalah golden ratio, yang dilambangkan dengan simbol “phi” (bukan “pi”), yaitu φ.

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, terbukti bahwa nilai n yang memenuhi adalah n = ³ log φ, jika 3ⁿ + 9ⁿ = 27ⁿ.
\blacksquare

Nomor 2

\Large\text{$\begin{aligned}n^{n^n}&=\cos^{\csc\left(\frac{\pi}{4}\right)}\left(\frac{\pi}{3}\right)\\&=\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]^{\csc(\pi/4)}\\&=\left(\frac{1}{2}\right)^{1/\sin(\pi/4)}\\&=\left(2^{-1}\right)^{1/\left(1/\sqrt{2}\right)}\\&=\left(2^{-1}\right)^{\sqrt{2}}\\&=\left(2^{-1}\right)^{2^{1/2}}\\&=\left(2^{-1}\right)^{2\times2^{-1/2}}\\&=\left(2^{-2}\right)^{2^{-2\times(1/4)}}\end{aligned}$}
\Large\text{$\begin{aligned}&=\left(2^{-2}\right)^{2^{-2\times2^{-2}}}\\&=\left(2^{-2}\right)^{{2^{-2}}^{2^{-2}}}\\n^{n^n}&=\left(\frac{1}{4}\right)^{(1/4)^{(1/4)}}\\n&=\boxed{\,\bf\frac{1}{4}\,}\end{aligned}$}

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, terbukti bahwa nilai n yang memenuhi
\large\text{$\begin{aligned}n^{n^{n}}=\cos^{\csc\left(\frac{\pi}{4}\right)}\left(\frac{\pi}{3}\right)\end{aligned}$}
adalah 1/4.
\blacksquare

Nomor 3

Sepengetahuan saya, terdapat pembuktian formal bahwa 1 + 1 = 2.
Saya akan coba buktikan bahwa 1 + 1 = 2 dengan cara saya, yang mungkin kurang formal.

Misalkan:

  • \mathbb{Z}_{0+} menyatakan himpunan bilangan bulat tak-negatif, dengan elemen identitas 0, di mana \forall m\in\mathbb{Z}_{0+}:m+0=m.
  • f:\mathbb{Z}_{0+}\to\mathbb{Z}_{0+}didefinisikan olehf(m)=n, di mana nadalah bilangan bulat berikutnya tepat setelahm.
  • Operasi penjumlah didefinisikan dengan f(a) + f(b) = f(a + b + 1).
    Contoh:
    3 + 2 = f(2) + f(1) = f(2+1+1) = f(4) = 5.

1 = f(0), dan 2 = f(1) = f(f(0)).

Maka, pembuktian 1 + 1 = 2 ekuivalen dengan pembuktian:
f(0)+f(0)=f(f(0))

Kita perhatikan bahwa untuk sembarang mdanndalam\mathbb{Z}_{0+}, m=f(m-1), sehingga:
m+f(n)=f(m-1)+f(n)=f(m-1+n+1)=f(m+n).

\begin{aligned}\bullet\ &\forall m,n\in\mathbb{Z}_{0+}:m+f(n)=f(m+n)\\&\Rightarrow \forall m\in\mathbb{Z}_{0+}\Rightarrow m+f(0)=f(m+0)\\\bullet\ &\textsf{Ambil $m=f(0)$}\\&\Rightarrow f(0)+f(0)=f(f(0)+0)\\\bullet\ &\textsf{Karena $\forall m\in\mathbb{Z}_{0+}:m+0=m$, diperoleh:}\\&\Rightarrow f(0)+f(0)=f(m)\\&\Rightarrow f(0)+f(0)=f(f(0))\\&\Rightarrow \sf terbukti!\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  1 + 1 = 2 terbukti!
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 16 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>