(+50) KuMat - Kuis Matematika Misalkan [tex]n[/tex] adalah bilangan asli yang

Berikut ini adalah pertanyaan dari henriyulianto pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

(+50) KuMat - Kuis MatematikaMisalkan n adalah bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 1.000.000, atau dapat dinyatakan dengan 1 \le n \le 1.000.000.
Ada berapa banyak bilangan n yang dapat dinyatakan sebagai selisih dari kuadrat dua buah bilangan bulat tak-negatif (bilangan cacah) ?
______________
Sebagai contoh:
1 adalah salah satu bilangan n yang memenuhi, karena 1 = 1² – 0².
8 adalah salah satu bilangan n yang memenuhi, karena 8 = 3² – 1².

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab: 750.000 bilangan

Penjelasan

  • Dua bilangan cacah berurutan dapat dinyatakan dengan a+1dana.
    Selisih kuadratnya:
    (a+1)² – a² = 2a + 1  ⇐ rumus bilangan cacah ganjil
    (1) Setiap bilangan asli ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih dari 2 bilangan kuadrat.
  • Dua bilangan cacah yang berselisih 2 dapat dinyatakan dengan b+1danb–1.
    Selisih kuadratnya:
    (b+1)² – (b–1)² = 4b  ⇐ kelipatan 4
    (2) Setiap bilangan asli kelipatan 4 dapat dinyatakan sebagai selisih dari 2 bilangan kuadrat.
  • Dua bilangan cacah yang berselisih 3 dapat dinyatakan dengan c+3danc.
    Selisih kuadratnya:
    (c+3)² – c²
    = (c+1+2)² – c²
    = (c+1)² + 4(c+1) + 4 – c²
    = (c+1)² – c² + 4(c+2)
    = 2c + 1 + 4(c+2)
    = 2(3c+4) + 1
    = 2K + 1  ⇐ rumus bilangan cacah ganjil
    ⇒ sesuai pernyataan (1)
  • Dua bilangan cacah yang berselisih 4 dapat dinyatakan dengan d+2dand–2.
    Selisih kuadratnya:
    (d+2)² – (d–2)² = 8d = 4(2d) = 4K  ⇐ kelipatan 4
    ⇒ sesuai pernyataan (2)
  • Dan seterusnya.

Kemudian, selidiki untuk bilangan genap yang bukan merupakan kelipatan 4.

Bilangan cacah genap = 2k
Kuadratnya: 4k² ≡ 0 (mod 4).

Bilangan cacah ganjil = 2k+1.
Kuadratnya: 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1 ≡ 1 (mod 4)

  • Selisih kuadrat dari dua bilangan genap:
    (0 – 0) (mod 4) ≡ 0 (mod 4)
    ⇒ merupakan bilangan kelipatan 4
  • Selisih kuadrat dari dua bilangan ganjil:
    (1 – 1) (mod 4) ≡ 0 (mod 4)
    ⇒ merupakan bilangan kelipatan 4
  • Selisih kuadrat dari bilangan genap dan ganjil:
    (0 – 1) (mod 4) ≡ –1 (mod 4) ≡ 3 (mod 4)
    ⇒ merupakan bilangan ganjil yang 1 kurangnya dari kelipatan 4
  • Selisih kuadrat dari bilangan ganjil dan genap:
    (1 – 0) (mod 4) ≡ 1 (mod 4)
    ⇒ merupakan bilangan ganjil yang 1 lebihnya dari kelipatan 4

Jadi, bilangan genap yang bukan merupakan kelipatan 4 tidak dapat dinyatakan sebagai selisih dari 2 bilangan kuadrat. Dan untuk semua kemungkinan, bilangan-bilangan n yang memenuhi adalah bilangan-bilangan yang memenuhi pernyataan (1) dan (2).

  • Untuk pernyataan (1), pada rentang 1 ≤ n ≤ 1.000.000, terdapat 500.000 bilangan ganjil.
  • Untuk pernyataan (2), pada rentang 1 ≤ n ≤ 1.000.000, terdapat 250.000 bilangan kelipatan 4, atau bilangan yang kongruen dengan 0 (mod 4).

Maka, pada rentang 1 ≤ n ≤ 1.000.000, ada 750.000 bilangan n yang dapat dinyatakan sebagai selisih dari kuadrat 2 buah bilangan cacah.

________________

Contoh-contoh (silahkan diperiksa sendiri).

  • 56 = 4×14
    ⇒ 56 = (14+1)² – (14–1)²
    56 = 15² – 13²
  • 56 = 8×7 = 2×4×7
    ⇒ 56 = (7+2)² – (7–2)²
    56 = 9² – 5²
  • 72 = 8×9 = 2×4×9
    ⇒ 72 = (9+2)² – (9–2)²
    72 = 11² – 7²
  • 1.001 = 2×500 + 1
    ⇒ 1.001 = (500+1)² – 500²
    1.001 = 501² – 500²
  • 300.009 = 6×50.000 + 9
    ⇒ 300.009 = (50000+3)² – 50000²
    300.009 = 50003² – 50000²
  • 999.999 = 6×166.665 + 9
    ⇒ 999.999 = (166.665+3)² – 166.665²
    999.999 = 166.668² – 166.665²
  • 1.000.000 = 4×250.000
    ⇒ 1.000.000 = (250.000+1)² – (250.000–1)²
    1.000.000 = 250.001² – 249.999²
  • 1.000.000 = 8×125.000
    ⇒ 1.000.000 = (125.000+2)² – (125.000–2)²
    1.000.000 = 125.002² – 124.998²

Dan seterusnya.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh unknown dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 16 Sep 22