1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan solusi dari 6789783x = 1237005 ( mod 28927591 )​

Berikut ini adalah pertanyaan dari firter pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan solusi dari 6789783x = 1237005 ( mod 28927591 )​
Tentukan solusi dari 6789783x = 1237005 ( mod 28927591 )​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Solusi dari 6789783x ≡ 1237005 (mod 28927591)​ adalah:
\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,247x\equiv45\ (\!\!\!\!\mod3157)\,}\end{aligned}$}

Solusi final yang diperoleh adalah:
\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,x=3157n+537\,,\ \ n\in\mathbb{Z}\,}\end{aligned}$}
 

Pembahasan

Teori Bilangan: Aritmetika Modular

Diketahui
6789783x ≡ 1237005 (mod 28927591)

Ditanyakan
Solusi dari kongruensi modular tersebut

Penyelesaian

Terlebih dahulu kita cari faktorisasi prima dari 6789783, 1237005, dan 28927591.

  • 6789783 = 3\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!13\!\times\!17\!\times\!19
  • 1237005 = 3^3\!\times\!5\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!17
  • 28927591 = 7^3\!\times\!11^2\!\times\!17\!\times\!41

Maka,

\begin{aligned}&6789783x\equiv 1237005\ \ (\!\!\!\!\mod 28927591)\\&............................................................\\&\left(3\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!13\!\times\!17\!\times\!19\right)x\\&\equiv\left(3^3\!\times\!5\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!17\right)\\&\qquad\left(\!\!\!\!\mod 7^3\!\times\!11^2\!\times\!17\!\times\!41\right)\\&............................................................\\\end{aligned}

Pada aritmetika modular, aturan pembagian yang berlaku adalah:

\begin{aligned}\frac{a}{e}\equiv\frac{b}{e}\ \ \left(\!\!\!\!\mod\frac{m}{{\rm fpb}(m,e)}\right)\end{aligned}

Dalam hal ini, a=6789783, b=1237005, m=28927591.

Karena eadalah bilangan bulat yang habis membagiadanb, maka e={\rm fpb}(a,b), sehingga

\begin{aligned}e&={\rm fpb}(a,b)\\&={\rm fpb}(6789783,1237005)\\&={\rm fpb}\left(\left(3\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!13\!\times\!17\!\times\!19\right),\left(3^3\!\times\!5\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!17\right)\right)\\&=3\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!17\end{aligned}

Lalu,

\begin{aligned}&{\rm fpb}(m,e)\\&={\rm fpb}\left(28927591,\left(3\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!17\right)\right)\\&={\rm fpb}\left(\left(7^3\!\times\!11^2\!\times\!17\!\times\!41\right),\left(3\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!17\right)\right)\\&=7^2\!\times\!11\!\times\!17\end{aligned}

Melanjutkan perhitungan kongruensi modular di atas dengan aturan pembagian, kita peroleh:

\begin{aligned}&\frac{\left(\cancel{3\!\times\!7^2}\!\times\!\cancel{11}\!\times\!13\!\times\!\cancel{17}\!\times\!19\right)x}{\cancel{\left(3\!\times\!7^2\!\times\!11\!\times\!17\right)}}\\&\equiv\frac{\left(3^3\!\times\!5\!\times\!\cancel{7^2\!\times\!11\!\times\!17}\right)}{\left(3\!\times\!\cancel{7^2\!\times\!11\!\times\!17}\right)}\\&\qquad\left(\!\!\!\!\mod \frac{7^3\!\times\!11^2\!\times\!\cancel{17}\!\times\!41}{7^2\!\times\!11\!\times\!\cancel{17}}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&............................................................\\&(13\!\times\!19)x\equiv\left(3^2\!\times\!5\right)\ (\!\!\!\!\mod7\!\times\!11\!\times\!41)\\&............................................................\\&\therefore\ 247x\equiv45\ (\!\!\!\!\mod3157)\\&\Rightarrow\ x=\frac{3157k+45}{247},\ \ k\in\mathbb{Z}\\&............................................................\end{aligned}

247x\equiv45\ (\!\!\!\!\mod3157)ataux=\dfrac{3157k+45}{247}dengank\in\mathbb{Z} adalah solusinya. Namun, kita masih bisa menganggapnya belum final. Kita dapat menelusuri nilai-nilai k\in\mathbb{Z}sehingga memperolehx bilangan bulat.

Dengan nilai-nilai positif, diperoleh kpertama yang memenuhi adalahk=42.

\begin{aligned}x&=\frac{3157\cdot42+45}{247}\\&=\frac{132639}{247}\\x&=537=\bf3157\cdot0+537\end{aligned}

Kemudian, kkedua yang diperoleh adalahk=247+42=289.

\begin{aligned}x&=\frac{3157\cdot289+45}{247}\\&=\frac{912418}{247}\\x&=3694=\bf3157\cdot1+537\end{aligned}

Jika kita menelusuri pada nilai negatif, diperoleh k=-247+42=-205.

\begin{aligned}x&=\frac{3157\cdot(-205)+45}{247}\\&=\frac{-647140}{247}\\x&={-}2620=\bf3157\cdot(-1)+537\end{aligned}

Dengan hasil tersebut, solusi finalnya adalah:

\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,x=3157n+537\,,\ \ n\in\mathbb{Z}\,}\end{aligned}$}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 09 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>