Terdapat persegi ABCD. Luas persegi tersebut adalah 576 cm². Di dalam persegi, terdapat sebuah seperempat lingkaran. BD merupakan busur lingkaranyangberpusat di titik A. Di dalam seperempat lingkaran, terdapat sebuah tiga per empat lingkaran. Gambar lebih jelas tercantum pada soal. Luas daerah yang diarsir adalah 83¼π cm². Nilai ini diperoleh dengan menggunakan konsep luas bangun datar, lingkaran, Pythagoras, dan sistem persamaan dua variabel.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

L persegi ABCD = 576 cm²

BD busur lingkaran yang berpusat di A

Ditanya: luas daerah yang diarsir

Jawab:

• Panjang sisi persegi

Ingat, luas persegi merupakan kuadrat dari panjang sisinya. Maka dari itu, panjang sisi persegi merupakan akar kuadrat dari luasnya.

s = √L = √576 = 24 cm

• Jari-jari lingkaran yang berpusat di A

Karena AB dan AD merupakan jari-jari lingkaran yang berpusat di A, maka jari-jari tersebut sama dengan panjang sisi persegi. Perhatikan bangun datar tiga perempat lingkaran. Bangun ini menyinggung busur BD. Misalkan titik singgungnya dinamakan E. AE merupakan jari-jari lingkaran, karena AE menghubungkan titik pusat lingkaran dengan salah satu titik pada busur lingkaran. Oleh karena itu, AE = 24 cm.

• Segitiga siku-siku khayalan

Perhatikan bahwa bangun datar tiga perempat lingkaran juga menyinggung sisi AB. Misalkan titik singgungnya dinamakan F. Misalkan pula titik pusat tiga per empat lingkaran dinamakan O. Perhatikan bahwa AFO membentuk bangun segitiga siku-siku, dengan alas AF, tinggi FO, dan sisi miring AO.

• Teorema Pythagoras

AO² = AF²+FO²

• Sistem persamaan

Misalkan jari-jari dari tiga per empat lingkaran adalah r, maka EO = r. Misalkan juga panjang garis sisi miring segitiga khayalan yang ada pada daerah yang diarsir adalah a. Dari informasi yang telah diperoleh sebelumnya, diperoleh persamaan berikut:

1. Dari jari-jari seperempat lingkaran: AE = AO+EO ⇒ 24 = a+r+r ⇒ 24 = a+2r...(1)
2. Dari Teorema Pythagoras: AO² = AF²+FO² ⇒ (a+r)² = 12²+r² ⇒ a²+2ar+r² = 144+r² ⇒ a²+2ar = 144...(2)

• Nilai r (solusi sistem persamaan)

Persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai berikut:

24 = a+2r

24-2r = a

a = 24-2r

Susbtitusi a di atas ke persamaan (2).

a²+2ar = 144

(24-2r)²+2(24-2r)r = 144

576-96r+4r²+48r-4r² = 144

576-144 = 96r-48r

432 = 48r

r = 9

Dengan demikian, jari-jari tiga per empat lingkaran dalam adalah 9 cm.

• Luas daerah diarsir

L arsir = L seperempat lingkaran besar-L tiga perempat lingkaran kecil

= ¼π·24²-¾π·9²

= ¼π·576-¾π·81

= 144π-²⁴³⁄₄π

= 144π-60¾π

= 143⁴⁄₄π-60¾π

= 83¼π

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah ​83¼π cm².

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Luad Daerah yang Diarsir Memuat Sebagian Lingkaran yomemimo.com/tugas/28622051

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1