Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan (1/4)x-1 = √8^3x +1.

Berikut ini adalah pertanyaan dari Hmfrtna2162 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Nilai } \: x \: \text{ yang memenuhi persamaan } \: \left( \frac{1}{4} \right)^{x-1} \: = \left( \sqrt{8} \right)^{3x+1} \: \text{ adalah } \: \frac{1}{13} \: \:. \\ \\$

PEMBAHASAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep persamaan eksponensial.

Sifat-sifat persamaan eksponensial

(i).

${f(x)}^{g(x)} = {f(x)}^{h(x)} \: \: \: \text{maka} \\ \\ g(x) = h(x) \: \: \: , \: \: \: f(x) = 1 \: \: \text{atau} \: \: f(x) = - 1 \\ \\ f(x) = - 1 \: \: \text{dengan syarat} \: \: g(x) = h(x) \: \: \text{baik bernilai ganjil maupun genap} \: . \\ \\ f(x) = 0 \: \: \text{dengan syarat} \: \: g(x) \text{ dan } \: h(x) \: > 0 \: \: . \\ \\$

(ii).

${f(x)}^{h(x)} = {g(x)}^{h(x)} \: \: \: \text{maka} \\ \\ h(x) = 0 \: \: \: \text{atau} \: \: \: f(x) = g(x) \\ \\$

DIKETAHUI :

$\left( \frac{1}{4} \right)^{x-1} \: = \left( \sqrt{8} \right)^{3x+1} \\ \\$

DITANYA :

$\text{Nilai } \: x \: \text{ yang memenuhi persamaan } \: \left( \frac{1}{4} \right)^{x-1} \: = \left( \sqrt{8} \right)^{3x+1} \: \:. \\ \\$

JAWAB :

Gunakan sifat persamaan eksponensial dengan basis yang sama.

$\begin{aligned} \left( \frac{1}{4} \right)^{x-1} & \: = \left( \sqrt{8} \right)^{3x+1} \\ \\ \left( 2^{-2} \right)^{x-1} \: & = \left( 2^{\frac{3}{2}} \right)^{3x+1} \\ \\ 2^{-2(x-1) } \: & = 2^{\frac{3}{2} \left( 3x+1 \right)} \\ \\ -2(x-1) \: & = \frac{3}{2} \left( 3x+1 \right) \\ \\ -2x+2 \: & = \frac{9x+3}{2} \: \quad \: (\: \text{ kalikan kedua ruas dengan } \: 2 \:) \\ \\ -4x+4 \: & = 9x+3 \\ \\ -4x-9x \: & = 3-4 \\ \\ -13x \: & = -1 \\ \\ x \: & = \frac{-1}{-13} \\ \\ x \: & = \frac{1}{13} \\ \\ \end{aligned}$

KESIMPULAN :

$\text{Nilai } \: x \: \text{ yang memenuhi persamaan } \: \left( \frac{1}{4} \right)^{x-1} \: = \left( \sqrt{8} \right)^{3x+1} \: \text{ adalah } \: \frac{1}{13} \: \:. \\ \\$