1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Q.Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5

Berikut ini adalah pertanyaan dari simplyyesia01 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Q.
Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika yang dibuktikan adalah 6n+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ, maka jawabannya adalah: TIDAK TERBUKTI.

Namun jika yang dibuktikan adalah 6ⁿ+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ, maka jawabannya adalah: TERBUKTI.

 

Pembahasan

Kasus 1

Jika yang dibuktikan adalah 6n+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ.

Kita tahu bahwa dengan bilangan n yang tidak memiliki angka satuan 6, 6n+4 tidak habis dibagi 5.

Contoh: 12+4=16, 18+4=22, 600+4=604, dsb, semua contoh tersebut tidak habis dibagi 5.

Namun untuk n yang memiliki angka satuan 6, sebagai contoh: 6+4=10, 36+4=40, 96+4 = 100, dsb, semua contoh ini habis dibagi 5.

KESIMPULAN

∴  6n+4 habis dibagi 5 hanya untuk beberapa n ∈ ℕ, tidak untuk tiap n ∈ ℕ.

\blacksquare

Kasus 2

Jika yang dibuktikan adalah 6ⁿ+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ.

Metode 1

Klaim: Semua nilai 6^n memiliki satuan 6.

Bukti: Dengan teorema binomial, diperoleh:

\begin{aligned}6^n&=(5+1)^n\\&=\binom{n}{0}5^n1^0+\binom{n}{1}5^{n-1}1^1+\binom{n}{2}5^{n-2}1^2+{\dots}+\binom{n}{n}5^01^n\\&=\underbrace{\binom{n}{0}5^n+\binom{n}{1}5^{n-1}+\binom{n}{2}5^{n-2}}_{\begin{array}{c}5k\,,\ k\in\mathbb{N}\end{array}}+{\dots}+1\\6^n&=5k+1\,,\ k\in\mathbb{N}\end{aligned}

Karena 6^n pasti bilangan genap, maka 5k harus merupakan kelipatan 5 yang ganjil. Artinya, 5k memiliki angka satuan 5. Akibatnya, 5k+1 memiliki angka satuan 6.

___________________

Dari klaim tersebut, 6^n+4 = 5k+1+4=5k+5=5(k+1).

KESIMPULAN:

Dengan demikian, terbukti bahwa 6ⁿ+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ.

\blacksquare

Metode 2: Induksi Matematika

Basis Induksi

Untuk n=1, jelas benar bahwa 6+4=10 habis dibagi 5.

Asumsi/Hipotesis

Andaikan benar untuk n=k, yaitu 6^k+4 habis dibagi 5, maka harus dibuktikan benar pula untuk n=k+1, yaitu 6^{k+1}+4 habis dibagi 5.

\begin{aligned}&6^{k+1}+4\\&=6^{k+1}+24-20\\&=6\cdot6^k+6\cdot4-20\\&=6(6^k+4)-20\\&\ \ \left[\ \begin{aligned}&5\mid\left(6^k+4\right)\\&{\Rightarrow}\ 6^k+4=5m,\ m\in\mathbb{N}\end{aligned}\right.\\&=6(5m)-5\cdot4\\&=5(6m)-5\cdot4\\&=5(6m-4)\\&\therefore\ \boxed{\,5\:\mid\:\left(6^{k+1}+4\right)\,}\end{aligned}

KESIMPULAN:

Karena basis induksi terbukti benar, dan dengan asumsi/hipotesis di atas kita dapat membuktikan benar pula pada langkah induksi, dapat disimpulkan bahwa 6ⁿ+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ.

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 14 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>