Sebuah tabung tanpa tutup terbuat dari lempengan tipis, dapat memuat air sebanyak 27π cm³. tentukan jari-jari tabung agar luas permukaannya minimum!

Turunan fungsi aljabar

• f(x) = xⁿ  ⇒  f ' (x) = nxⁿ⁻¹
• f(x) = axⁿ  ⇒  f ' (x) = anxⁿ⁻¹
• f(x) = (u(x))ⁿ  ⇒  f ' (x) = n(u(x))ⁿ⁻¹ × u ' (x)

Sifat-sifat Turunan Fungsi  

Jika k suatu konstanta, u = u(x) dan v = v(x) berlaku :  

• f(x) = u ± v ⇒  f ' (x) = u ' ± v'
• f(x) = ku ⇒ f ' (x) = ku
• f(x) = u.v  ⇒ f ' (x) = u'. v + u.v'
• f(x) =    ⇒  f '(x) =

Pembahasan :

Diketahui :

Volume tabung tanpa tutup = 27π cm³

Ditanya :

jari-jari tabung agar luas permukaannya minimum?

Jawab :

• cara biasa :

Volume tabung = 27π cm³.

V = π r² t

27π = π r² t      (sama-sama coret π)

t = 27 / r²

subtitusikan t = 27 / r² ke luas permukaan tabung tanpa tutup

L = π r² + 2 π r t

L =  π r² + 2 π ()

L = π r² + 54 π r⁻¹

L akan maksimum jika L' (x) = 0

L = π r² + 54 π r⁻¹

L' (x) = 0  ⇔ 2 π r²⁻¹ + (-1) 54 π r⁻¹⁻¹ = 0

               ⇔ 2πr - 54πr⁻² = 0      (dikali r² untuk menghilangkan pangkat negatif

               ⇔ 2πr (r²) - 54πr⁻² (r²) = 0 

               ⇔ 2πr³ - 54π = 0

               ⇔            2πr³ = 54π

               ⇔                 r³ = 54/2

               ⇔                 r³ = 27

               ⇔                  r = ∛27

               ⇔                  r = 3

• Cara cepat : 

Luas permukaan tabung tanpa tutup akan minimum, jika r = t

Sehingga, dari volume tabung 

V = π r² t dan karena r = t, maka

V = π r³  ⇔ 27π = π r³

             ⇔    27 = r³

             ⇔       r = ∛27

             ⇔       r = 3

Jadi jari-jari tabung agar luas permukaannya minimum adalah 3 cm

----------------------------------------------------

Pelajari lebih lanjut tentang Turunan Fungsi

1. Tabung tanpa tutup dengan luas permukaan kπ cm² adalah tabung tanla tutup dengan luas terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak 8π cm³. maka nilai k → yomemimo.com/tugas/21636188
2. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 616 cm³. Tentukan jari-jari tabung jika luas tabung akan maksimum → yomemimo.com/tugas/14631090
3. Carilah nilai turunan dari → yomemimo.com/tugas/10946712
4. Turunan fungsi f(x) = (2x² - 6) / (4x - 7) → yomemimo.com/tugas/10954402
5. jika f(x) = (2x² - 2)³ , maka f ' (1) → yomemimo.com/tugas/157758
6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 5x² + 2x - 12 pada titik (2, 12) → yomemimo.com/tugas/6228217

Detil Jawaban

• Kelas        : 11 SMA
• Mapel       : Matematika
• Bab           : 9 - Turunan Fungsi Aljabar
• Kode         : 11.2.9
• Kata kunci : turunan, jari-jari tabung, luas permukaannya minimum, volume tabung tanpa tutup

Semoga bermanfaat