Pada permasalahan pertama, terdapat sebuah kurva dengan fungsi: f(x) = x³-3x²+6x+4 dan garis x+15y = 5. Persamaan garis singgung kurva (PGSK) yang tegak lurusgaris tersebut adalah15x-y-23 = 0 dan 15x-y+9 = 0. Pada permasalahan kedua, terdapat sebuah fungsi: f(x) = 2x³+3x²+3. Fungsi tersebut naik pada interval x < -1 dan x > 0. dan memiliki nilai maksimum lokalsebesar4. Persamaan, interval, dan nilai diperoleh menggunakan konsep turunan.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Untuk nomor 2:

Diketahui:

f(x) = x³-3x²+6x+4

Garis x+15y = 5

Ditanya: PGSK tegak lurus garis

Jawab:

• Gradien garis

Dari persamaan garis: x+15y = 5 ⇒ x+15y-5 = 0, diperoleh:

1. Koefisien x: A = 1
2. Koefisien y: B = 15
3. Konstanta: C = -5

Gradien: m₁ = -A/B = -1/15

• Gradien garis singgung kurva

Karena tegak lurus dengan garis, maka:

m₁m₂ = -1

-1/15 m₂ = -1

m₂ = 15

• Turunan fungsi kurva

f'(x) = 3x²-6x+6

• Titik singgung

m = f'(x₁)

15 = 3x₁²-6x₁+6

0 = 3x₁²-6x₁-9

x₁²-2x₁-3 = 0

(x₁-3)(x₁+1) = 0

x₁ = 3 atau x₁ = -1

Untuk x₁ = 3, maka: y₁ = f(3) = 3³-3·3²+6·3+4 = 27-27+18+4 = 22

Untuk x₁ = -1, maka: y₁ = f(-1) = (-1)³-3(-1)²+6(-1)+4 = -1-3-6+4 = -6

Ada dua kemungkinan titik singgung: (3,22) dan (-1,-6).

• PGSK

Untuk titik (3,22):

y-22 = 15(x-3)

y-22 = 15x-45

-15x+y+23 = 0

15x-y-23 = 0

Untuk titik (-1,-6):

y-(-6) = 15(x-(-1))

y+6 = 15(x+1)

y+6 = 15x+15

-15x+y-9 = 0

15x-y+9 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 15x-y-23 = 0 dan 15x-y+9 = 0.

Untuk nomor 3:

Diketahui: f(x) = 2x³+3x²+3

Ditanya:

a. interval fungsi naik

b. nilai maksimum

Jawab:

Untuk poin a:

• Turunan pertama fungsi

f'(x) = 6x²+6x

• Pertidaksamaan fungsi naik

f'(x) > 0

6x²+6x > 0

x²+x > 0

x(x+1) > 0

x = 0 atau x = -1

• Garis bilangan

++++ | ---- | ++++

      -1      0

• Interval fungsi naik

Perhatikan nilai-nilai positif pada garis bilangan, yaitu pada interval x < -1 dan x > 0.

Jadi, fungsi naik pada interval x < -1 dan x > 0.

Untuk poin b:

• Titik stasioner

f'(x) = 0

6x²+6x = 0

x²+x = 0

x(x+1) = 0

x = 0 atau x = -1

• Turunan kedua fungsi

f''(x) = 12x+6

• Uji turunan kedua

f''(0) = 12·0+6 = 0+6 = 6 > 0 (minimum lokal)

f''(-1) = 12(-1)+6 = -12+6 = -6 > 0 (maksimum lokal)

• Nilai maksimum lokal

f(-1) = 2(-1)³+3(-1)²+3 = -2+3+3 = 4

Jadi, nilai maksimum lokal fungsi sebesar 4.

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Menentukan Interval Naik dan Turun dari Suatu Fungsi yomemimo.com/tugas/40942195

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1