Misalkan terdapat sebuah pernyataan:

P(n) = 24+26+28+30+...+(2n+22) = n²+23n

untuk setiap n bilangan asli. Pernyataan ini memenuhi kedua prinsip induksi matematika, sehingga formula ini benar. Langkah-langkahnya dapat disimak pada penjelasan di bawah.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui: P(n) = 24+26+28+30+...+(2n+22) = n²+23n

Ditanya: tunjukkan P(n) benar

Jawab:

Akan ditunjukkan P(n) memenuhi langkah awal dan langkah induksi.

• Langkah awal

Untuk n = 1, diperoleh:

1. 2·1+22 = 2+22 = 24
2. 1²+23·1 = 1+23 = 24
3. 2·1+22 = 1²+23·1

Jadi, P(1) bernilai benar.

• Langkah induksi

Karena P(1) benar, maka P(2) juga benar, sampai bisa didapatkan n = k:

P(k) = 24+26+28+30+...+(2k+22) = k²+23k

juga benar, untuk setiap bilangan asli. Akan ditunjukkan untuk n = k+1, sedemikian sehingga:

P(k+1) = 24+26+28+30+...+(2(k+1)+22) = (k+1)²+23(k+1)

benar. Dari P(k), diperoleh:

24+26+28+30+...+(2k+22) = k²+23k

Kedua ruas ditambahkan (2(k+1)+22). Akibatnya:

24+26+28+30+...+(2k+22)+(2(k+1)+22)

= k²+23k+(2(k+1)+22)

= k²+23k+2k+2+22

= k²+2k+23k+24

= k²+2k+23k+1+23

= k²+2k+1+23k+23

= (k+1)²+23(k+1)

Dengan demikian, P(k+1) = 24+26+28+30+...+(2(k+1)+22) = (k+1)²+23(k+1) benar untuk setiap k bilangan asli.

• Kesimpulan

Karena P(n) = 24+26+28+30+...+(2n+22) = n²+23n memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula tersebut benar.

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Membuktikan Pernyataan-Pernyataan Matematis dengan Induksi Matematika Berbentuk Deret yomemimo.com/tugas/30430628

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1