Jika titik (5, k) terletak di dalam lingkaran x² + y² – 6x + 4y – 7 = 0, maka batas nilai k adalah –6 < k < 2.

Pembahasan

Persamaan lingkaran: x² + y² – 6x + 4y – 7 = 0

Kita ubah dulu menjadi bentuk “normal”.

x² + y² – 6x + 4y – 7 = 0
⇔ x² + y² – 6x + 4y = 7
⇔ x² – 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 7 + 9 + 4
⇔ (x – 3)² + (y + 2)² = 20

Titik pusat lingkaran: P(3, –2)

Radius/jari-jari: r = √20 = 2√5 satuan

Agar titik (5, k) terletak di dalam lingkaran, jarak antara titik tersebut ke titik pusat lingkaran harus kurang dari panjang jari-jari lingkaran.

(x₁ – a) + (y₁ – b) < r²
    x1 = 5, y1 = k, a = 3, b = –2, r² = 20
⇒ (5 – 3)² + [k – (–2)]² < 20
⇒ 2² + (k + 2)² < 20
⇒ 4 + k² + 4k + 4 – 20 < 0
⇒ k² + 4k – 12 < 0
⇒ (k + 6)(k – 2) < 0
   Nilai ekstrem: k = –6, k = 2

Pemeriksaan interval

• k < –6:
  ⇒ (k + 6)(k – 2) = (–)(–) = (+) > 0
  ⇒ interval tidak memenuhi

• –6 < k < 2:
  ⇒ (k + 6)(k – 2) = (+)(–) = (–) < 0
  ⇒ interval memenuhi

• k > 2:
  ⇒ (k + 6)(k – 2) = (+)(+) = (+) > 0
  ⇒ interval tidak memenuhi

Interval yang memenuhi adalah –6 < k < 2.

KESIMPULAN

∴  Jika titik (5, k) terletak di dalam lingkaran x² + y² – 6x + 4y – 7 = 0, maka batas nilai k adalah –6 < k < 2.