Karena f(x) = ax^2 + bx + c, dapat diduga bahwa barisan f(x) akan membentuk barisan aritmetika tingkat 2.

Perhatikan bahwa:

f(1) = 1 = 1^3

f(1) + f(2) = 1 + 7 = 8 = 2^3

f(1) + f(2) + f(3) = 1 + 7 + 19 = 27 = 3^3

Sehingga, dapat diduga bahwa f(1) + f(2) + f(3) + ... f(n) = n^3

===

Bukti:

Berdasarkan f(1) = 1, f(2) = 7, dan f(3) = 19, maka dapat dibentuk sistem persamaan:

a + b + c = 1

4a + 2b + c = 7

9a + 3b + c = 19

Perhatikan bahwa:

(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 1

3a + b = 6

(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 19 - 7

5a + b = 12

Sehingga.

(5a + b) - (3a + b) = 12 - 6

2a = 6

a = 3

Substitusi a = 3 ke dalam persamaan yang lain

3a + b = 6

3(3) + b = 6

9 + b = 6

b = -3

Subsititusi a = 3 dan b = -3 ke persamaan yang lain

a + b + c = 1

3 + (-3) + c = 1

c = 1

Jadi, didapat a = 3, b = -3, dan c = 1

Artinya, f(x) = 3x^2 - 3x + 1

Selanjutnya, perhatikan bahwa

f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = 3(1 + 4 + 9 + ... + n^2) - 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + 1

= 3((1 - 1) + (4 - 2) + (9 - 3) + ... + (n^2 - n)) + 1

= 3(2 + 6 + 12 + 20 + ... + (n^2 - n)) + 1

Deret 2 + 6 + 12 + 20 + ... + (n^2 - n) adalah deret aritmetika tingkat 2 dengan jumlah ((n - 1)(n)(n + 1))/3, maka

f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = 3(((n - 1)(n)(n + 1))/3) + 1

= (n - 1)(n)(n + 1) + 1

= (n^2 - 1)(n) + 1

= n^3 - n + 1

= n^3

Jadi, f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = n^3