Hitunglah konvergen atau divergen (gunakanlah uji banding)

Berikut ini adalah pertanyaan dari lisnamendrofa434 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:
$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k^3+1}\ \ \underline{\textsf{konvergen.}}\end{aligned}$
 

Pembahasan

Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Diberikan deret:
$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k^3+1}\end{aligned}$

Kita akan menentukan deret tersebut konvergen atau divergen dengan uji banding.

Karena suku deret tersebut rasional, maka kita gunakan Uji Banding Limit, dengan deret pembanding:
$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k^3}\end{aligned}$

Deret $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{k^3}$ , atau sama dengan $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}$ adalahderet yang konvergenberdasarkanuji deret-p, karena bilangan pangkatnya lebih dari 1.

Uji banding limit kedua deret diberikan sebagai berikut.

$\begin{aligned}\Bigg[\ a_k&=\frac{k}{k^3+1},\ b_k=\frac{k}{k^3}\ \Bigg]\\\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}&=\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{\cancel{k}}{k^3+1}}{\frac{\cancel{k}}{k^3}}\\&=\lim_{k\to\infty}\frac{k^3}{k^3+1}\\&=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{k^3}}\\&=\frac{1}{1+0}\\\therefore\ \lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}&=\bf1 > 0\end{aligned}$
 

KESIMPULAN

Nilai limit perbandingan kedua deret adalah 1 > 0, dan deret $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{k^3}$ konvergen, maka dapat disimpulkan bahwa deret $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{k^3+1}$ jugakonvergen.