• a. Panjang rusuk kubus = 15 cm.
• b. Panjang diagonal ruang kubus = 15√3 cm.
• c. Luas bidang diagonal kubus = 225√2 cm².
• d. Luas permukaan kubus = 1.350 cm².
• e. Volume kubus = 3.375 cm³.

Pembahasan

Bangun Ruang: Kubus

Diketahui:  

• Jumlah panjang semua diagonal sisi kubus = 180√2 cm

a. Panjang rusuk kubus

Sebuah kubus memiliki 6 sisi persegi yang identik (saling kongruen). Setiap sisi persegi tersebut memiliki 2 garis diagonal yang sama panjang.

Oleh karena itu, dengan jumlah panjang semua diagonal sisi kubus = 180√2 cm, panjang sebuah diagonal sisinya adalah:
d = (180√2) / (6×2) = 15√2 cm

Perbandingan antara panjang sisi persegi (yang juga panjang rusuk kubus) dengan panjang diagonal persegi adalah 1 : √2, karena dengan teorema Pythagoras diperoleh:
d = √(2s²) = s√2

Oleh karena itu, jika r menyatakan panjang rusuk kubus, perbandingannya dengan panjang diagonal sisi kubus dapat dinyatakan dengan:
r : d = 1 : √2

Sehingga:
⇒ r = d/√2 = 15√2 / √2 = 15 cm.

∴  Dengan demikian, panjang rusuk kubus tersebut adalah 15 cm.

b. Panjang diagonal ruang kubus

Dari panjang rusuk (r) dan panjang diagonal sisi (d) kubus, kita dapat menentukan panjang diagonal ruang (D) kubus dengan:
D = √(r² + d²) = √(r² + 2r²) = √(3r²)
⇒ D = r√3

Dengan r = 15 cm, kita peroleh:
⇒ D = 15√3 cm

∴  Dengan demikian, panjang diagonal ruang kubus tersebut adalah 15√3 cm.

c. Luas bidang diagonal kubus

Bidang diagonal kubus adalah persegi dengan panjang d (panjang diagonal sisi/bidang) dan lebar r (panjang rusuk kubus). Oleh karena itu, luasnya adalah:
L BDK = d×r = r√2 × r = r²√2

Dengan r = 15 cm, kita peroleh:
⇒ L BDK = 15²·√2 cm² = 225√2 cm²

∴  Dengan demikian, luas bidang diagonal kubus tersebut adalah 225√2 cm².

d. Luas permukaan kubus

Karena kubus memiliki 6 permukaan persegi, maka luas permukaannya adalah:
LP = 6r²

Dengan r = 15 cm, diperoleh:
⇒ LP = 6·15² = 6·225 = 1.350 cm²

∴  Dengan demikian, luas permukaan kubus tersebut adalah 1.350 cm².

e. Volume kubus

Volume kubus dapat dihitung dengan rumus:
V = r³

Dengan r = 15 cm, diperoleh:
⇒ V = 15³ cm³ = (15×225) cm³ = 3.375 cm³

∴  Dengan demikian, volume kubus tersebut adalah 3.375 cm³.