1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

jika f(x)=x+2 dan g (x) akar 1-2x tentukan (g^-¹ o

Berikut ini adalah pertanyaan dari dl137522 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika f(x)=x+2 dan g (x) akar 1-2x tentukan (g^-¹ o f^‐¹)(x)​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

\begin{aligned}\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)(x)&=\frac{-(x-2)^2+1}{2}\end{aligned}

atau

\begin{aligned}\left ( g^{-1}\circ f^{-1} \right )(x)&=\frac{-x^2+4x-3}{2}\end{aligned}

atau

\begin{aligned}\left ( g^{-1}\circ f^{-1} \right )(x)&=-\frac{x^2-4x+3}{2}\end{aligned}

Pembahasan

Komposisi dan Invers Fungsi

Yang perlu diingat dalam hal ini adalah {\left (g^{-1}\circ f^{-1}\right )(x)} sama dengan  {\left(f\circ g\right)^{-1}(x)} .

Fungsi {(f:x\to y)}memetakanxkey, dan fungsi {(g:y\to z)}memetakanykez, sehingga {(f\circ g):x\to z}. Pada arah sebaliknya, atau dengan kata lain inversnya, {(f\circ g)^{-1}:z\to x}. Jika fungsi fdang memiliki invers, maka {(f\circ g)^{-1}=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)} , karena {g^{-1}:z\to y}dan{f^{-1}:y\to x} .

Jadi, untuk penyelesaian persoalan ini, ada 2 cara, yaitu:

  • tentukan {(f\circ g)} terlebih dahulu, lalu tentukan inversnya, atau
  • tentukan {f^{-1}}dan{g^{-1}}, lalu tentukan {\left(f\circ g\right)^{-1}(x)} .

PENYELESAIAN

Cara Pertama

\begin{aligned}f(x)=x+&2\,,\quad g(x)=\sqrt{1-2x}\\\\(f\circ g)(x)&=g(x)+2\\&=\sqrt{1-2x}+2\\\\z&=(f\circ g)(x)\\z&=\sqrt{1-2x}+2\\z-2&=\sqrt{1-2x}\\(z-2)^2&=1-2x\\2x&=-(z-2)^2+1\\x&=\frac{-(z-2)^2+1}{2}\\\\(f\circ g)^{-1}(z)&=\left ( g^{-1}\circ f^{-1} \right )(z)\\&=\frac{-(z-2)^2+1}{2}\end{aligned}

Kita tinggal mengganti z dengan x, sehingga diperoleh:

\large\text{$\begin{aligned}\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)(x)&=\frac{-(x-2)^2+1}{2}\end{aligned}$}

Atau jika dijabarkan:

\large\text{$\begin{aligned}\left ( g^{-1}\circ f^{-1} \right )(x)&=\frac{-x^2+4x-3}{2}\end{aligned}$}

Atau:

\large\text{$\begin{aligned}\left ( g^{-1}\circ f^{-1} \right )(x)&=-\frac{x^2-4x+3}{2}\end{aligned}$}

Cara Kedua

\begin{aligned}f(x)=x+&2\,,\quad g(x)=\sqrt{1-2x}\\\\y=f(x)&=x+2\iff x=y-2\\\therefore\ f^{-1}(x)&=x-2\\\\y=g(x)&=\sqrt{1-2x}\\y^2&=1-2x\\2x&=-y^2+1\\x&=\frac{-y^2+1}{2}\\\therefore\ g^{-1}(x)&=\frac{-x^2+1}{2}\\\\\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)(x)&=\frac{-\left(f^{-1}(x)\right)^2+1}{2}\end{aligned}

Sehingga, dengan substitusi f^{-1}(x) , kita memperoleh hasil yang sama dengan cara pertama di atas, yaitu:

\large\text{$\begin{aligned}\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)(x)&=\frac{-(x-2)^2+1}{2}\end{aligned}$}

Atau jika dijabarkan:

\large\text{$\begin{aligned}\left ( g^{-1}\circ f^{-1} \right )(x)&=\frac{-x^2+4x-3}{2}\end{aligned}$}

Atau:

\large\text{$\begin{aligned}\left ( g^{-1}\circ f^{-1} \right )(x)&=-\frac{x^2-4x+3}{2}\end{aligned}$}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 03 Jun 22
<< Previous Post
Next Post >>