pada segitiga bola ABC diketahui : a =20°12'5", b =

Berikut ini adalah pertanyaan dari adiputraindra0 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

pada segitiga bola ABC diketahui : a =20°12'5", b = 32°25'16", C = 90°45'15" hitunglah sudut A, sudut B dan sisi c

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Dengan menggunakan aturan cosinusyang berlaku dalamsegitiga bola, didapat besar sudut A adalah 34°15'25", besar sudut B adalah 60°55'18", dan besar sisi c adalah 37°50'11".

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Selain aturan cosinus yang terdapat di materi trigonometri tingkat Sekolah Menengah Atas, ada juga aturan cosinusyang berlaku padasegitiga bola, yang dirumuskan seperti berikut:

Misalkan suatu segitiga bola memiliki sisi-sisi a, b, dan c dan sudut-sudut A, B, dan C, berlaku:

cos a = cos b cos c+sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c+sin a sin c cos B

cos c = cos a cos b+sin a sin b cos C

Selain itu, ingat hubungan satuan sudut antara derajat, menit, dan detik, sebagai berikut:

1° = 60' = 3600"

1' = 60"

Pertama, ubah satuan sisi dan sudut segitiga bola yang diketahui pada soal ke dalam satuan derajat.

$a=20^\text{o}12^\text{'}5^\text{"}\\=20^\text{o}+(\frac{12}{60} )^\text{o}+(\frac{5}{3600} )^\text{o}\\=20^\text{o}+(\frac{720}{3600} )^\text{o}+(\frac{5}{3600} )^\text{o}\\=20^\text{o}+(\frac{725}{3600} )^\text{o}\\=20\frac{29}{144}^\text{o}$

$b=32^\text{o}25^\text{'}16^\text{"}\\=32^\text{o}+(\frac{25}{60} )^\text{o}+(\frac{16}{3600} )^\text{o}\\=32^\text{o}+(\frac{1500}{3600} )^\text{o}+(\frac{16}{3600} )^\text{o}\\=32^\text{o}+(\frac{1516}{3600} )^\text{o}\\=32\frac{379}{900}^\text{o}$

$C=90^\text{o}45^\text{'}15^\text{"}\\=90^\text{o}+(\frac{45}{60} )^\text{o}+(\frac{15}{3600} )^\text{o}\\=90^\text{o}+(\frac{2700}{3600} )^\text{o}+(\frac{15}{3600} )^\text{o}\\=90^\text{o}+(\frac{2715}{3600} )^\text{o}\\=90\frac{181}{240}^\text{o}$

Pada aturan cosinusdalamsegitiga bola, diperlukan nilai-nilai trigonometri sisi-sisi dan sudut-sudutnya. Oleh karena itu, hitung nilai-nilai tersebut. Karena bukan sudut istimewa, gunakan bantuan scientific calculator.

$\text{sin }a = \text{sin }20\frac{29}{144}^\text{o}\approx0,345\\\text{cos }a = \text{cos }20\frac{29}{144}^\text{o}\approx0,938\\\text{sin }b = \text{sin }32\frac{379}{900}^\text{o}\approx0,536\\\text{cos }b = \text{cos }32\frac{379}{900}^\text{o}\approx0,844\\\text{cos }C = \text{cos }90\frac{181}{240}^\text{o}\approx-0,013$

Mari hitung besar sisi c.

$\text{cos } c = \text{cos } 20\frac{29}{144}^\text{o} \text{ cos } 32\frac{379}{900}^\text{o}+\text{sin } 20\frac{29}{144}^\text{o} \text{ sin } 32\frac{379}{900}^\text{o} \text{ cos } 90\frac{181}{240}^\text{o}\\=0,938\times 0,844+0,345\times 0,536\times (-0,013)\\=0,790\\c=\text{cos}^{-1}(0,790) \\\approx37,83629519^\text{o}\\\approx37^\text{o}50,17771119^\text{'}\\\approx37^\text{o}50^\text{'}10,66267158^\text{"}\\\approx37^\text{o}50^\text{'}11^\text{"}$

Hasil perhitungan memberikan besar sisi c adalah 37°50'11". Selanjutnya, hitung nilai sin c untuk keperluan mencari sudut A dan B yang melibatkan nilai tersebut.

sin c = sin 37,836° ≈ 0,613

Mari hitung besar sudut A.

$\text{cos } 20\frac{29}{144}^\text{o} = \text{cos } 32\frac{379}{900}^\text{o} \text{ cos } 37,836^\text{o}+\text{sin } 32\frac{379}{900}^\text{o} \text{ sin } 37,836^\text{o} \text{ cos } A\\\text{cos } 20\frac{29}{144}^\text{o} - \text{cos } 32\frac{379}{900}^\text{o} \text{ cos } 37,836^\text{o}=\text{sin } 32\frac{379}{900}^\text{o} \text{ sin } 37,836^\text{o} \text{ cos } A\\$

$\text{ cos } A=\frac{\text{cos } 20\frac{29}{144}^\text{o} - \text{cos } 32\frac{379}{900}^\text{o} \text{ cos } 37,836^\text{o}}{\text{sin } 32\frac{379}{900}^\text{o} \text{ sin } 37,836^\text{o}}\\=\frac{0,938 - 0,844\times 0,790}{0,536\times 0,613}\\\approx0,827\\A=\text{cos}^{-1}(0,827) \\\approx34,25703885^\text{o}\\\approx34^\text{o}15,42233118^\text{'}\\\approx34^\text{o}15^\text{'}25,33987088^\text{"}\\\approx34^\text{o}15^\text{'}25^\text{"}$

Hasil perhitungan memberikan besar sudut A adalah 34°15'25". Berikutnya, mari hitung besar sudut B.

$\text{cos }32\frac{379}{900}^\text{o} = \text{cos } 20\frac{29}{144}^\text{o} \text{ cos } 37,836^\text{o}+\text{sin } 20\frac{29}{144}^\text{o} \text{ sin } 37,836^\text{o} \text{ cos } B\\\text{cos }32\frac{379}{900}^\text{o} - \text{cos } 20\frac{29}{144}^\text{o} \text{ cos } 37,836^\text{o}=\text{sin } 20\frac{29}{144}^\text{o} \text{ sin } 37,836^\text{o} \text{ cos } B$

$\text{ cos } B=\frac{\text{cos }32\frac{379}{900}^\text{o} - \text{cos } 20\frac{29}{144}^\text{o} \text{ cos } 37,836^\text{o}}{\text{sin } 20\frac{29}{144}^\text{o} \text{ sin } 37,836^\text{o}}\\=\frac{0,844 - 0,938\times 0,790}{0,345\times 0,613}\\\approx0,486\\B=\text{cos}^{-1}(0,486) \\\approx60,9217112^\text{o}\\\approx60^\text{o}55,30267199^\text{'}\\\approx60^\text{o}55^\text{'}18,16031958^\text{"}\\\approx60^\text{o}55^\text{'}18^\text{"}$