1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan menggunakan konsep matriks!​

Berikut ini adalah pertanyaan dari husnaandina pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan menggunakan konsep matriks!​
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan menggunakan konsep matriks!​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah:
HP = {(x, y, z) | (–1, 2, 4)}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui sistem persamaan:

\begin{cases}x+y-z=-3\\2x+y+z=4\\x+2y+z=7\end{cases}

Untuk menyelesaikannya dengan konsep matriks, kita dapat menggunakan beberapa cara.

CARA PERTAMA: Dengan matriks segitiga

Dengan menggunakan matriks lengkap (augmented matrix) dari koefisien dan nilai pada ruas kanan, kita ubah submatriks koefisien menjadi matriks segitiga (segitiga atas atau segitiga bawah sesuai selera), lalu selesaikan dengan substitusi.

Augmented matrix untuk sistem persamaan tersebut adalah:

\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & -3\\2 & 1 & 1 & 4\\1 & 2 & 1 & 7\end{array}\right)

Pengubahan menjadi matriks segitiga untuk submatriks koefisien:

\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & -3\\2 & 1 & 1 & 4\\1 & 2 & 1 & 7\end{array}\right)\\\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\to R_2\\R_3-R_1\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & -3\\0 & -1 & 3 & 10\\0 & 1 & 2 & 10\end{array}\right)\\\left.\begin{aligned}R_3+R_2\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & -3\\0 & -1 & 3 & 10\\0 & 0 & 5 & 20\end{array}\right)\\\end{aligned}

Sampai di sini, sudah cukup. Terbentuk sistem persamaan baru yang ekuivalen. Kita telusuri dari baris paling bawah (variabel z).

  • Baris ke-3:
    5z = 20
    ⇒ z = 4
  • Baris ke-2:
    –y + 3z = 10
    ⇒ –y + 12 = 10
    ⇒ –y = –2
    ⇒ y = 2
  • Baris pertama:
    x + y – z = –3
    ⇒ x + 2 – 4 = –3
    ⇒ x –2 = –3
    ⇒ x = –1

∴ Kita peroleh himpunan penyelesaian:
HP = {(x, y, z) | (–1, 2, 4)}
\blacksquare

CARA KEDUA: Dengan sifat invers matriks.

Kita dapat memanfaatkan sifat invers matriks:

\begin{aligned}A\cdot X&=B\\\left(A^{-1}\cdot A\right)\cdot X&=A^{-1}\cdot B\\\therefore\ X&=A^{-1}\cdot B\end{aligned}

  • Matriks A adalah matriks koefisien ruas kiri (matriks persegi 3×3).
  • Matriks X adalah matriks variabel (matriks kolom 3×1).
  • Matriks B adalah matriks nilai ruas kanan (matriks kolom 3×1).

\begin{aligned}A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\2 & 1 & 1 \\1 & 2 & 1\end{pmatrix}\,,\ X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\,,\ B=\begin{pmatrix}-3\\4\\7\end{pmatrix}\\\end{aligned}

Kita tentukan dulu invers dari matriks A. Terdapat beberapa cara, bisa dengan matriks adjoin (transpose dari kofaktor), atau dengan OBE, atau metode lain. Saya gunakan OBE.

\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1&0&0\\2 & 1 & 1 & 0&1&0\\1 & 2 & 1 & 0&0&1\end{array}\right)\\\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\to R_2\\R_3-R_1\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1&0&0\\0 & -1 & 3 & -2&1&0\\0 & 1 & 2 & -1&0&1\end{array}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}\left.\begin{aligned}R_1+R_2\to R_1\\R_3+R_2\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 2 & -1&1&0\\0 & -1 & 3 & -2&1&0\\0 & 0 & 5 & -3&1&1\end{array}\right)\\\left.\begin{aligned}(-1)R_2\to R_2\\\tfrac{1}{5}R_3\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 2 & -1&1&0\\0 & 1 & -3 & 2&-1&0\\0 & 0 & 1 & -{}^3\!/_5&{}^1\!/_5&{}^1\!/_5\end{array}\right)\\\end{aligned}
\begin{aligned}\left.\begin{aligned}R_1-2R_3\to R_1\\R_2+3R_3\to R_1\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & {}^1\!/_5&{}^3\!/_5&-{}^2\!/_5\\0 & 1 & 0 & {}^1\!/_5&-{}^2\!/_5&{}^3\!/_5\\0 & 0 & 1 & -{}^3\!/_5&{}^1\!/_5&{}^1\!/_5\end{array}\right)\\\end{aligned}

Jadi, invers dari matriks A adalah:

A^{-1}=\begin{pmatrix}\bf{}^1\!/_5&\bf{}^3\!/_5&\bf-{}^2\!/_5\\\bf{}^1\!/_5&\bf-{}^2\!/_5&\bf{}^3\!/_5\\\bf-{}^3\!/_5&\bf{}^1\!/_5&\bf{}^1\!/_5\end{pmatrix}

Kemudian, substitusikan pada persamaan X=A^{-1}\cdot B.

\begin{aligned}X&=A^{-1}\cdot B\\\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}{}^1\!/_5&{}^3\!/_5&-{}^2\!/_5\\{}^1\!/_5&-{}^2\!/_5&{}^3\!/_5\\-{}^3\!/_5&{}^1\!/_5&{}^1\!/_5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\7\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}1&3&-2\\1&-2&3\\-3&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\7\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}-3+12-14\\-3-8+21\\9+4+7\end{pmatrix}\end{aligned}
\begin{aligned}&=\frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}-5\\10\\20\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\bf-1\\\bf2\\\bf4\end{pmatrix}\end{aligned}

∴ Kita peroleh himpunan penyelesaian:
HP = {(x, y, z) | (–1, 2, 4)}
\blacksquare

CARA KETIGA: Dengan Operasi Baris Elementer (OBE) - Eliminasi Gauss-Jordan

Karena tidak cukup pada konten jawaban, saya lampirkan pada gambar.

∴ Kita peroleh himpunan penyelesaian:
HP = {(x, y, z) | (–1, 2, 4)}
\blacksquare

Himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah:HP = {(x, y, z) | (–1, 2, 4)} Penjelasan dengan langkah-langkah:Diketahui sistem persamaan:[tex]\begin{cases}x+y-z=-3\\2x+y+z=4\\x+2y+z=7\end{cases}[/tex]Untuk menyelesaikannya dengan konsep matriks, kita dapat menggunakan beberapa cara.CARA PERTAMA: Dengan matriks segitigaDengan menggunakan matriks lengkap (augmented matrix) dari koefisien dan nilai pada ruas kanan, kita ubah submatriks koefisien menjadi matriks segitiga (segitiga atas atau segitiga bawah sesuai selera), lalu selesaikan dengan substitusi.Augmented matrix untuk sistem persamaan tersebut adalah:[tex]\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & -3\\2 & 1 & 1 & 4\\1 & 2 & 1 & 7\end{array}\right)[/tex]Pengubahan menjadi matriks segitiga untuk submatriks koefisien:[tex]\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & -3\\2 & 1 & 1 & 4\\1 & 2 & 1 & 7\end{array}\right)\\\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\to R_2\\R_3-R_1\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & -3\\0 & -1 & 3 & 10\\0 & 1 & 2 & 10\end{array}\right)\\\left.\begin{aligned}R_3+R_2\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & -3\\0 & -1 & 3 & 10\\0 & 0 & 5 & 20\end{array}\right)\\\end{aligned}[/tex]Sampai di sini, sudah cukup. Terbentuk sistem persamaan baru yang ekuivalen. Kita telusuri dari baris paling bawah (variabel z).Baris ke-3:5z = 20⇒ z = 4Baris ke-2:–y + 3z = 10⇒ –y + 12 = 10⇒ –y = –2⇒ y = 2Baris pertama:x + y – z = –3⇒ x + 2 – 4 = –3⇒ x –2 = –3⇒ x = –1∴ Kita peroleh himpunan penyelesaian:HP = {(x, y, z) | (–1, 2, 4)}[tex]\blacksquare[/tex]CARA KEDUA: Dengan sifat invers matriks.Kita dapat memanfaatkan sifat invers matriks:[tex]\begin{aligned}A\cdot X&=B\\\left(A^{-1}\cdot A\right)\cdot X&=A^{-1}\cdot B\\\therefore\ X&=A^{-1}\cdot B\end{aligned}[/tex]Matriks A adalah matriks koefisien ruas kiri (matriks persegi 3×3).Matriks X adalah matriks variabel (matriks kolom 3×1).Matriks B adalah matriks nilai ruas kanan (matriks kolom 3×1).[tex]\begin{aligned}A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\2 & 1 & 1 \\1 & 2 & 1\end{pmatrix}\,,\ X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\,,\ B=\begin{pmatrix}-3\\4\\7\end{pmatrix}\\\end{aligned}[/tex]Kita tentukan dulu invers dari matriks A. Terdapat beberapa cara, bisa dengan matriks adjoin (transpose dari kofaktor), atau dengan OBE, atau metode lain. Saya gunakan OBE.[tex]\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1&0&0\\2 & 1 & 1 & 0&1&0\\1 & 2 & 1 & 0&0&1\end{array}\right)\\\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\to R_2\\R_3-R_1\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1&0&0\\0 & -1 & 3 & -2&1&0\\0 & 1 & 2 & -1&0&1\end{array}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\left.\begin{aligned}R_1+R_2\to R_1\\R_3+R_2\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 2 & -1&1&0\\0 & -1 & 3 & -2&1&0\\0 & 0 & 5 & -3&1&1\end{array}\right)\\\left.\begin{aligned}(-1)R_2\to R_2\\\tfrac{1}{5}R_3\to R_3\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 2 & -1&1&0\\0 & 1 & -3 & 2&-1&0\\0 & 0 & 1 & -{}^3\!/_5&{}^1\!/_5&{}^1\!/_5\end{array}\right)\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\left.\begin{aligned}R_1-2R_3\to R_1\\R_2+3R_3\to R_1\end{aligned}\ \right\rangle&\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & {}^1\!/_5&{}^3\!/_5&-{}^2\!/_5\\0 & 1 & 0 & {}^1\!/_5&-{}^2\!/_5&{}^3\!/_5\\0 & 0 & 1 & -{}^3\!/_5&{}^1\!/_5&{}^1\!/_5\end{array}\right)\\\end{aligned}[/tex]Jadi, invers dari matriks A adalah:[tex]A^{-1}=\begin{pmatrix}\bf{}^1\!/_5&\bf{}^3\!/_5&\bf-{}^2\!/_5\\\bf{}^1\!/_5&\bf-{}^2\!/_5&\bf{}^3\!/_5\\\bf-{}^3\!/_5&\bf{}^1\!/_5&\bf{}^1\!/_5\end{pmatrix}[/tex]Kemudian, substitusikan pada persamaan [tex]X=A^{-1}\cdot B[/tex].[tex]\begin{aligned}X&=A^{-1}\cdot B\\\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}{}^1\!/_5&{}^3\!/_5&-{}^2\!/_5\\{}^1\!/_5&-{}^2\!/_5&{}^3\!/_5\\-{}^3\!/_5&{}^1\!/_5&{}^1\!/_5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\7\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}1&3&-2\\1&-2&3\\-3&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\7\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}-3+12-14\\-3-8+21\\9+4+7\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=\frac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}-5\\10\\20\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\bf-1\\\bf2\\\bf4\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]∴ Kita peroleh himpunan penyelesaian:HP = {(x, y, z) | (–1, 2, 4)}[tex]\blacksquare[/tex]CARA KETIGA: Dengan Operasi Baris Elementer (OBE) - Eliminasi Gauss-JordanKarena tidak cukup pada konten jawaban, saya lampirkan pada gambar.∴ Kita peroleh himpunan penyelesaian:HP = {(x, y, z) | (–1, 2, 4)}[tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 14 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>