1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional berikut. [tex] \sqrt{ {x}^{2}

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional berikut. \sqrt{ {x}^{2} - 9 } < \sqrt{x - 1}
.
.
.
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaiandaripertidaksamaan \sqrt{x^2-9} < \sqrt{x-1} adalah:

\large\text{$\begin{aligned}\bf\left \{\,x\,\left|\ 3 \le \ x < \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right) \right.\right \}\end{aligned}$}

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:

\begin{aligned}\sqrt{x^2-9} < \sqrt{x-1}\end{aligned}

\begin{aligned}&&\!\!\!\!\left(\sqrt{x^2-9}\right)^2 & < \left(\sqrt{x-1}\right)^2\\&\Rightarrow &x^2-9 & < x-1\quad...(i)\\&\Rightarrow &x^2-x & < 8\\\end{aligned}

Kemudian, cari titik kritis sebagai batas-batas selang nilai x yang mungkin.

\begin{aligned}&x^2-x=8\\&\Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=8+\frac{1}{4}\\&\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{33}{4}\\&\Rightarrow x-\frac{1}{2}=\pm\sqrt{\frac{33}{4}}=\pm\frac{\sqrt{33}}{2}\\&\Rightarrow x=\frac{\pm\sqrt{33}+1}{2}\\&\Rightarrow x=\frac{-\sqrt{33}+1}{2}\ \lor\ x=\frac{\sqrt{33}+1}{2}\\&\Rightarrow x=-\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}-1\right)\ \lor\ x=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right)\\\end{aligned}

Dari kedua nilai x tersebut, akan terdapat 3 selang nilai x yang perlu diperiksa, yaitu:

\begin{aligned}\bullet\ &x < -\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}-1\right)\\\bullet\ &-\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}-1\right) < x < \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right)\\\bullet\ &x > \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right)\end{aligned}

Kita perhatikan terlebih dahulu bentuk akar pada pertidaksamaan.

  • Untuk \sqrt{x^2-9}, selang nilai x untuk x ∈ ℝ adalah x ≤ –3 atau x ≥ 3.
  • Untuk \sqrt{x-1}, selang nilai x untuk x ∈ ℝ adalah x ≥ 1.
  • {x | x ≤ –3}
    ⇒ Tidak validuntuk\sqrt{x-1}.
  • {x | x ≥ 1} ∩ {x | x ≥ 3} = {x | x ≥ 3}
    ⇒ Valid untuk kedua bentuk akar.

Maka selang yang perlu diperiksa adalah:

\begin{aligned}(1):\ \ &3 \le x < \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right)\\(2):\ \ &x > \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right)\end{aligned}

Kita gunakan pertidaksamaan (i).

\begin{aligned}3 \le &\ x < \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right)\\\bullet\ \ &x=3: x^2-9=0\\&x=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right): x^2-9=8-9=-1\\&\Rightarrow -1 < x^2-9 \le 0\\\bullet\ \ &x=3:x-1=2\\&x=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right): x-1=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}-1\right)\\&\Rightarrow 2 \le x-1 < \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}-1\right)\\\therefore\ &\boxed{\,x^2-9 < x-1{\sf\ terpenuhi.}\,}\end{aligned}

\begin{aligned}x > &\ \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right)\\\bullet\ \ &x=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right):x^2-9=8-9=-1\\&\Rightarrow x^2-9 > -1\\\bullet\ \ &x=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right):x-1=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}-1\right)\\&\Rightarrow x-1 > \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}-1\right)\\\therefore\ &\boxed{\,x^2-9 < x-1{\sf\ tidak\ terpenuhi.}\,}\end{aligned}

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah:

\begin{aligned}\bf\left \{\,x\,\left|\ 3 \le \ x < \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{33}+1\right) \right.\right \}\end{aligned}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 10 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>