√4 < 4 jika dan hanya jika sin 45° ≥ 60°

(opsi B)

Pembahasan

Diberikan pernyataan bi-implikasi:

√4 < 4 jika dan hanya jika sin 45° < sin 60°.

Pernyataan bi-implikasi tersebut bernilai BENAR, sebab:

• √4 < 4 bernilai benar, dan
• sin 45° < sin 60° bernilai benar.

Bi-implikasi bernilai benar jika dua pernyataan yang terlibat sama-sama benar atau sama-sama salah. Jika salah satunya salah, maka pernyataan bi-implikasi bernilai salah.

Sehingga, ingkaran dari pernyataan bi-implikasi yang bernilai benar, harus bernilai salah.

• Ingkaran dari √4 < 4 adalah √4 ≥ 4.
• Ingkaran dari sin 45° < sin 60° adalah sin 45° ≥ sin 60°.

Alternatif ingkaran pernyataan di atas adalah:

• √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45° < sin 60°, atau
• √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45° ≥ sin 60°.

Kedua pernyaaan bi-implikasi tersebut bernilai salah, karena salah satu pernyataan salah (ruas kiri atau ruas kanan).

Aljabar boolean juga dapat menunjukkan hal ini.

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

    ... hukum implikasi

          ≡ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)

    ... hukum distributif

          ≡ (~p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q) ∨ (~p ∧ p) ∨ (p ∧ q)

    ... hukum negasi

          ≡ (~p ∧ ~q) ∨ S ∨ S ∨ (p ∧ q)

p ⇔ q ≡ (~p ∧ ~q) ∨ (p ∧ q)

Maka negasinya:

~(p ⇔ q) ≡ ~[ (~p ∧ ~q) ∨ (p ∧ q) ]

    ... hukum DeMorgan

               ≡ ~(~p ∧ ~q) ∧ ~(p ∧ q)

    ... hukum DeMorgan

               ≡ (p ∨ q) ∧ (~p ∨ ~q)

    ... hukum distributif

               ≡ (p ∧ ~p) ∨ (q ∧ ~p) ∨ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q)

    ... hukum negasi

               ≡ S ∨ (q ∧ ~p) ∨ (p ∧ ~q) ∨ S

~(p ⇔ q) ≡ ( ~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)

Dapat dilihat bahwa negasi/ingkaran dari sebuah pernyataan bi-implikasi yang bernilai benar adalah pernyataan bi-implikasi yang bernilai salah, di mana salah satu pernyataan saja (ruas kiri atau ruas kanan) yang perlu bernilai salah.

KESIMPULAN

Ingkaran dari “√4 < 4 jika dan hanya jika sin 45° < sin 60°” adalah:

• √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45° < sin 60°, atau
• √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45° ≥ sin 60°.