Q.Buktikan dengan induksi matematika :2 + 7 + 12 +

Berikut ini adalah pertanyaan dari simplyyesia01 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Q.Buktikan dengan induksi matematika :
2 + 7 + 12 + 17 + .... + (5n - 3) = (5n² - n / 2)!

Note: Sepertinya hati saya ini kembali terbuka karena seseorang tapi saya gak bakalan sebutin siapa seseorang yang buat hati saya kembali terbuka

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti benar bahwa
$\begin{aligned}2+7+12+{\dots}+(5n-3)=\frac{5n^2-n}{2}\end{aligned}$
untuk setiap $n$ bilangan asli.
___________________

Pembahasan

Pada pembuktian dengan induksi matematika, terdapat 3 langkah, yaitu:

Langkah pertama: Basis Induksi
Pada langkah ini, kita membuktikan bahwa pernyataan matematika benar untuk $n=1$ (nilai terkecil pada bilangan asli). Pada induksi matematika yang diperluas, nilai $n$ basis ini tidak harus sama dengan 1, tergantung pada himpunan bilangan di mana pernyataan matematika tersebut berlaku.
Langkah kedua: Asumsi (hipotesis)
Pada langkah ini, kita menetapkan asumsi/hipotesis, bahwa pernyataan matematika yang ingin dibuktikan benar berlaku untuk sembarang nilai $n$ bilangan asli, atau pada himpunan bilangan di mana pernyataan matematika tersebut berlaku. Oleh karena itu, pada langkah ini diambil $n=k$ .
Langkah ketiga: Langkah Induksi
Pada langkah ini, dengan cara tertentu, harus dapat dibuktikan bahwa pernyataan matematika tersebut berlaku untuk $n=k+1$ .

Jika langkah induksi terbukti, maka hal tersebut membuktikan asumsi/hipotesis berlaku.

Persoalan

Kita akan membuktikan
$\begin{aligned}2+7+12+{\dots}+(5n-3)=\frac{5n^2-n}{2}\end{aligned}$
untuk setiap $n$ bilangan asli.

PEMBUKTIAN dengan Induksi Matematika

Selanjutnya, kita sebut deret $2+7+12+{\dots}+(5n-3)$ sebagai $S_n$ .

Basis Induksi
Untuk $n=1$ , terbukti benar bahwa $S_1=2=(5-4)/2$ .

Asumsi (Hipotesis)

Andaikan benar untuk $n=k$ , yaitu
$\begin{aligned}S_k=2+7+12+{\dots}+(5k-3)=\frac{5k^2-k}{2}\end{aligned}$

Langkah Induksi

Harus ditunjukkan/dibuktikan bahwa

$\begin{aligned}S_{k+1}&=2+7+12+{\dots}+(5k-3)+\left(5(k+1)-3\right)\\&=\frac{5(k+1)^2-(k+1)}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\overbrace{2+7+12+{\dots}+(5k-3)}^{S_k}+\left(5(k+1)-3\right)\\&{=\ }S_k+5(k+1)-3\\&{=\ }\frac{5k^2-k}{2}+5(k+1)-3\\&{=\ }\frac{5k^2-k+2\left[5(k+1)-3\right]}{2}\\&{=\ }\frac{5k^2-k+2\left[5(k+1)\right]-6}{2}\\&{=\ }\frac{5k^2-5+2\left[5(k+1)\right]-k-1}{2}\\&{=\ }\frac{5\left(k^2-1\right)+2\left[5(k+1)\right]-(k+1)}{2}\\&{=\ }\frac{5(k+1)(k-1)+2\left[5(k+1)\right]-(k+1)}{2}\\&{=\ }\frac{5(k+1)\left(k-1+2\right)-(k+1)}{2}\\&{=\ }\frac{5(k+1)(k+1)-(k+1)}{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\frac{5(k+1)^2-(k+1)}{2}=S_{k+1}\\&{\implies}\sf terbukti!\end{aligned}$

KESIMPULAN

Telah ditunjukkan bahwa langkah induksi untuk $n=k+1$ terbukti benar.
∴ Dengan demikian, terbukti bahwa
$\begin{aligned}2+7+12+{\dots}+(5n-3)=\frac{5n^2-n}{2}\end{aligned}$
berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.
$\blacksquare$
___________________

Pelajari Lebih Lanjut

Contoh soal lain tentang Induksi Matematika

___________________

Detail Jawaban

Mata Pelajaran: Matematika
Kelas: 11 (XI)
Materi: Bab 1 - Induksi Matematika
Kode Kategorisasi: 11.2.1

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 12 Oct 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah