Diketahui sebuah segitiga PQR dengan m∠RPQ = d, m∠PQR =

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui sebuah segitiga PQR dengan m∠RPQ = d, m∠PQR = e, dan m∠PRQ = f.d < e < π/2 dan ketiga sudut memenuhi persamaan: cos 2d+cos 2e+cos 2f+1 = 0
Sudut f sebesar ...
A. 3π/4
B. 2π/3
C. π/2
D. π/3
E. π/4

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Sudut f sebesar π/2. (opsi C)
 

Pembahasan

Trigonometri dan Segitiga

Diketahui

Sebuah $\triangle PQR$ dengan:

$m\angle RPQ=d$
$m\angle RPQ=e$
$m\angle PRQ=f$
$d < e < \pi/2$
$\cos(2d)+\cos(2e)+\cos(2f)+1 = 0$

Ditanyakan

$m\angle PRQ=f=...$

PENYELESAIAN

Sebelum menyelesaikan, kita perhatikan bahwa jumlah besar sudut pada sebuah segitiga adalah $\pi\ \sf rad$ . Oleh karena itu:

$f=\pi-(d+e)$

Langkah-langkah penyelesaian:

$\begin{aligned}&\cos(2d)+\cos(2e)+\cos(2f)+1=0\\&\quad\to\left[\ \cos(2f)= 2\cos^2(f)-1\ \right]\\&\Rightarrow \cos(2d)+\cos(2e)+2\cos^2(f)-1+1=0\\&\Rightarrow \cos(2d)+\cos(2e)+2\cos^2(f)=0\\&\quad\to\left[\ \cos(2d)+\cos(2e)=2\cos\tfrac{1}{2}(2d+2e)\cos\tfrac{1}{2}(2d-2e)\ \right]\\&\Rightarrow 2\cos(d+e)\cos(d-e)+2\cos^2(\pi-(d+e))=0\\&\quad\to\left[\ \cos^2(\pi-(d+e))=[-\cos(d+e)]^2=\cos^2(d+e)\ \right]\\&\Rightarrow 2\cos(d+e)\cos(d-e)+2\cos^2(d+e)=0\quad\big\}\div2\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\Rightarrow \cos(d+e)\cos(d-e)+\cos^2(d+e)=0\\&\Rightarrow \cos(d+e)\left[\,\cos(d-e)+\cos(d+e)\,\right]=0\\&\Rightarrow\begin{cases}(1)&\!\!\!\cos(d+e)=0\\&\!\!\!\Rightarrow d+e=\dfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow \boxed{\,f=\dfrac{\pi}{2}\,}\\(2)&\!\!\!\cos(d-e)+\cos(d+e)=0\\&\!\!\!\Rightarrow2\cos(d)\cos(e)=0\\&\!\!\!\Rightarrow d=\dfrac{\pi}{2}\ {\sf atau}\ e=\dfrac{\pi}{2}\\&\!\!\!\Rightarrow {\sf invalid\ karena\ }d < e < \pi/2 \end{cases}\end{aligned}$