1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

bagaimana cara membuktikan Teorema keterbagian berikut?​

Berikut ini adalah pertanyaan dari sidratulmuntaha1510 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bagaimana cara membuktikan Teorema keterbagian berikut?​
bagaimana cara membuktikan Teorema keterbagian berikut?​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pembuktian Teorema Keterbagian

 

Teorema 2.5

Jika p,q,r\in\mathbb{Z}, p\mid qdanp\mid r, maka p\mid qx+ryuntuk semuax,y\in\mathbb{Z}.

Pembuktian

  • p\mid q\implies q=ap\,,\ a\in\mathbb{Z}
    Artinya: jika p\mid q, maka ada bilangan bulat adi manaqadalah hasil perkalian antaraadenganp.
  • p\mid r\implies r=bp\,,\ b\in\mathbb{Z}
    Artinya: jika p\mid r, maka ada bilangan bulat bdi manaradalah hasil perkalian antarabdenganp.

\begin{aligned}p&\mid qx+ry\\\Leftrightarrow p&\mid apx+bpy\\\Leftrightarrow \cancel{p}&\mid \cancel{p}\,(ax+by)\\&\textsf{(kedua ruas dibagi $p$)}\\\Leftrightarrow 1&\mid ax+by\\\end{aligned}
⇒ benar untuk semua a, b, x, y ∈ ℤ karena semua bilangan bulat pasti habis dibagi 1.

⇒ Dengan demikian, teorema 2.5 terbukti.

 

Teorema 2.7

Jika p,q,r\in\mathbb{Z}, p > 0, q > 0, p\mid q, dan q\mid p, maka p = q.

Pembuktian

p\mid q\implies q=ap\,,\ a\in\mathbb{Z}\,,\ a > 0

\begin{aligned}&q\mid p\implies a\cancel{p}\mid\cancel{p}\implies a\mid1\end{aligned}

Karena a\in\mathbb{Z}, jika a habis membagi 1, maka sudah tentu a = 1.

Oleh karena itu:

\begin{aligned}&q = ap = 1\cdot p\\&\Leftrightarrow q=p\\&\Leftrightarrow p=q\qquad\blacksquare\end{aligned}

⇒ Dengan demikian, teorema 2.7 terbukti.

 

Teorema 2.8

p\mid qjika dan hanya jikakp\mid kquntuk semuak\in \mathbb{Z}dank\ne0.

Pembuktian

Untuk teorema ini, jenis keterhubungannya adalah “jika dan hanya jika”, yang dilambangkan dengan “⇔” (bi-implikasi). Oleh karena itu, pembuktian yang ideal adalah pembuktian 2 arah.

  • Dari arah ruas kiri.
    p\mid q\implies kp\mid kq\,,\ \forall k\in\mathbb{Z}\,,\ k\ne0
    \begin{aligned}&p\mid q\implies q=ap\,,\ a\in\mathbb{Z}\\&\Leftrightarrow\ kq=k\cdot ap\\\end{aligned}
    Sehingga:
    \begin{aligned}&kp\mid k\cdot ap\\&\Leftrightarrow\ \cancel{kp}\mid a\cdot \cancel{kp}\\&\Leftrightarrow\ 1\mid a\end{aligned}
    Karena a\in\mathbb{Z}, semua nilai a pasti habis dibagi 1.
    ⇒ Oleh karena itu, p\mid q\implies kp\mid kq\,,\ \forall k\in\mathbb{Z}\,,\ k\ne0 terbukti benar.
  • Dari arah ruas kanan.
    \forall k\in\mathbb{Z}\,,\ k\ne0: kp\mid kq\implies p\mid q
    \begin{aligned}&kp\mid kq\\&\textsf{(kedua ruas dibagi $k$)}\\&\Leftrightarrow \frac{\cancel{k}p}{\cancel{k}}\ \Bigg|\ \frac{\cancel{k}q}{\cancel{k}}\\&\Leftrightarrow p\mid q\end{aligned}
    ⇒ Oleh karena itu, \forall k\in\mathbb{Z}\,,\ k\ne0: kp\mid kq\implies p\mid q terbukti benar.

⇒ Dengan demikian, teorema 2.8 terbukti.

 

Teorema 2.9

Jika p,q,r\in\mathbb{Z}, p \ne 0, p\mid q+r, dan p\mid q, maka p\mid r.

\begin{aligned}&p\mid q\implies q=ap\,,\ a\in\mathbb{Z}\\&p\mid q+r\\&\Leftrightarrow q+r=bp\,,\ b\in\mathbb{Z}\\&\Leftrightarrow ap+r=bp\\&\Leftrightarrow r=bp-ap\\&\Leftrightarrow r=p(b-a)\\&\textsf{$b-a$ adalah bilangan bulat.}\\&\textsf{Misalkan $c=b-a$, maka}:\\&\qquad r=p\cdot c\,,\ c\in\mathbb{Z}\\&\therefore\ p\mid r\qquad\blacksquare\end{aligned}

⇒ Dengan demikian, teorema 2.9 terbukti.

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 05 Jul 22
<< Previous Post
Next Post >>