1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

mohon bantuannya kak​

Berikut ini adalah pertanyaan dari nursahel26 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mohon bantuannya kak​
mohon bantuannya kak​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jumlah semua bilangan asli n sehingga n^4-5n^3+5n^2+4n+10merupakan bilangan prima adalah3.
 

Pembahasan

Kita akan menggunakan Teorema Kecil Fermat, yang menyatakan bahwa jika p bilangan prima, maka untuk sembarang bilangan bulat a, berlaku a^p-ahabis dibagi olehp. Dalam notasi aritmetika modular, hal ini dapat dinyatakan oleh:

a^p\equiv a\ (\!\!\!\!\mod p)\quad...(i)

Jika atidak habis dibagip, maka teorema tersebut ekuivalen dengan a^{p-1}-1habis dibagi olehp, yang dapat dinyatakan oleh:

a^{p-1}\equiv 1\ (\!\!\!\!\mod p)\quad...(ii)

Mari kita lanjutkan.

Pertama-tama, agar n^4-5n^3+5n^2+4n+10 prima, jelas bahwa n harus bilangan asli yang ganjil, karena dengan n=1 hasilnya adalah 15, dan dengan n genap sudah pasti hasilnya adalah bilangan genap.

\begin{aligned}&n^4-5n^3+5n^2+4n+10\\{=\ }&n^4-\underbrace{5\left(n^3-n\right)}_{\begin{array}{c}3\mid n^3-n\end{array}}+\underbrace{5\left(n^2-n\right)}_{\begin{array}{c}2\mid n^2-n\end{array}}{}+4n+10\\{=\ }&n^4-5\cdot3k_1+5\cdot2k_2+4n+10\\{=\ }&n^4+4n+10-5\cdot3k_1+5\cdot2k_2\\{=\ }&n^4+4n+5\left(2-3k_1+2k_2\right)\end{aligned}

5\left(2-3k_1+2k_2\right) habis dibagi 5, sedangkan 4n habis dibagi 2.

Dari pernyataan (ii) di atas:

  • Jika n tidak habis dibagi 5, maka n^{5-1}\equiv 1\ (\!\!\!\!\mod 5)ataun^{4}\equiv 1\ (\!\!\!\!\mod 5).
  • Jika n tidak habis dibagi 2, maka n^{2-1}\equiv 1\ (\!\!\!\!\mod 2)ataun\equiv 1\ (\!\!\!\!\mod 2).

Bilangan nyang memenuhi adalah3, karena 3\equiv 1\ (\!\!\!\!\mod 2), 3^4 \equiv 1\ (\!\!\!\!\mod 5), dan

\begin{aligned}&3^4-5\cdot3^3+5\cdot3^2+4\cdot3+10\\{=\ }&81-135+45+12+10\\{=\ }&93-90+10\\{=\ }&\bf13\implies\sf bilangan\ prima\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Jumlah semua bilangan asli n sehingga n^4-5n^3+5n^2+4n+10merupakan bilangan prima adalah3.

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 01 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>