1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a, titik P dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a, titik P dan Q merupakan tengah-tengah rusuk AB dan BC. Jarak titik D ke bidang PQG adalah ...A. \frac{1}{3} a\sqrt{3} B. a C. \frac{1}{2} a\sqrt{3} D. \frac{1}{3} a\sqrt{3} E. \frac{2}{3}a

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jarak titik D ke bidang PQG adalah a. (opsi B)

 

Pembahasan

Bangun Ruang, Teorema Pythagoras, dan Kesebangunan

Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a, titik PdanQmerupakantitik tengahrusukABdanBC. Kita akan mencari jarak dari titik D ke bidang PQG, yang dilambangkan dengan {\bf d}_{D\to PQG}atau panjang garisDO pada gambar.

Bidang PQG adalah sebuah segitiga, yang merupakan “bagian” dari bidang PQGE. Jadi, jarak dari titik D ke bidang PQG sama saja dengan jarak dari titik D ke bidang PQGE.

Karena PQ // AC, dan AC adalah diagonal bidang ABCD, maka bidang PQG berada pada bidang yang sama dengan bidang PQGE. Oleh karena itu, jaraknya adalah panjang garis DO, yang merupakan sebagian dari garis DJ, di mana Oadalahperpotongan garis DJ dengan bidang PQG, atau bidang PQGE. Proyeksi garis DJ ke bidang ABCD adalah diagonal DB.

Titik O juga merupakan perpotongan kedua diagonal bidang PQGE, yang merupakan sebuah trapesium sama kaki. Karena sama kaki, maka titik O berada tepat pada garis tinggi bidang PQGE, sehingga ΔOPQ “minimal” merupakan segitiga sama kaki (bisa saja sama sisi, kita belum/tidak menghitungnya). Garis tinggi ΔOPQ, yaitu OL (pada gambar), tegak lurus dengan DO.

Jadi, untuk menentukan jarak dari titik D ke bidang PQG, karena ΔDOL merupakan segitiga siku-siku, yang siku-siku di ∠DOL, kita membutuhkan panjang DL. Panjang OL mungkin tidak diperlukan.

 

Mari kita lanjutkan.

Garis PQmerupakan alas atau sisi miring atau sisi terpanjang dari segitiga siku-siku sama kakiPQB, dengan |PB| = |QB| = ½a.
Oleh karena itu:

\displaystyle|PQ|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ \Rightarrow\ {|PQ|}^2=\frac{a^2}{2}.

Garis DL merupakan garis tinggi segitiga sama kaki PQD, dengan |PD| = |QD|. PDadalah sisi miring dari segitga siku-sikuAPD, dan QDadalah sisi miring segitiga siku-sikuCQD. ΔAPD ≅ ΔCQD, karena |AP| = |CQ| = ½a, dan |AD| = |CD| = a. Oleh karena itu:

\begin{aligned}DL^2&=PD^2-PL^2\\&=AD^2+AP^2-\left(\frac{1}{2}PQ\right)^2\\&=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\frac{a^2}{2}\\&=a^2+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{8}\\&=a^2+\frac{a^2}{8}\\DL^2&=\frac{9a^2}{8}\\\end{aligned}

Untuk panjang OL, kita gunakan prinsip kesebangunan segitiga (bisa juga dengan aturan sinus), karena ΔDOL sebangundenganΔDBJ. DBadalah diagonal bidangABCD, sehingga |DB|=a\sqrt{2}\ \Rightarrow\ |DB|^2=2a^2. Sedangkan |BJ| = |AP| =  \dfrac{a}{2}\ \Rightarrow\ |BJ|^2=\dfrac{a^2}{4}.

Maka:

\begin{aligned}&\frac{|DO|}{|DB|}=\frac{|DL|}{|DJ|}\ \ {\Rightarrow\ \ }\frac{|DO|^2}{|DB|^2}=\frac{|DL|^2}{|DJ|^2}\\&{\Rightarrow\ }|DO|^2=\frac{|DL|^2\cdot|DB|^2}{|DJ|^2}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{|DL|^2\cdot|DB|^2}{|DB|^2+|BJ|^2}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{\dfrac{9a^2}{8}\cdot2a^2}{2a^2+\dfrac{a^2}{4}}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{\ \cancel{\dfrac{9}{4}}a^4\ }{\cancel{\dfrac{9}{4}}a^2}\ =\ a^2\\&{\Rightarrow\ }{\bf d}_{D\to PQG}=|DO|=\sqrt{|DO|^2}\end{aligned}

\begin{aligned}&{\therefore\ }\boxed{\ {\bf d}_{D\to PQG}=\ \bf a\ }\\&\quad\blacksquare\end{aligned}

 

KESIMPULAN

∴  Jarak titik D ke bidang PQG adalah a.

 

Jarak titik D ke bidang PQG adalah a. (opsi B) PembahasanBangun Ruang, Teorema Pythagoras, dan KesebangunanPada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a, titik P dan Q merupakan titik tengah rusuk AB dan BC. Kita akan mencari jarak dari titik D ke bidang PQG, yang dilambangkan dengan [tex]{\bf d}_{D\to PQG}[/tex] atau panjang garis DO pada gambar.Bidang PQG adalah sebuah segitiga, yang merupakan “bagian” dari bidang PQGE. Jadi, jarak dari titik D ke bidang PQG sama saja dengan jarak dari titik D ke bidang PQGE.Karena PQ // AC, dan AC adalah diagonal bidang ABCD, maka bidang PQG berada pada bidang yang sama dengan bidang PQGE. Oleh karena itu, jaraknya adalah panjang garis DO, yang merupakan sebagian dari garis DJ, di mana O adalah perpotongan garis DJ dengan bidang PQG, atau bidang PQGE. Proyeksi garis DJ ke bidang ABCD adalah diagonal DB. Titik O juga merupakan perpotongan kedua diagonal bidang PQGE, yang merupakan sebuah trapesium sama kaki. Karena sama kaki, maka titik O berada tepat pada garis tinggi bidang PQGE, sehingga ΔOPQ “minimal” merupakan segitiga sama kaki (bisa saja sama sisi, kita belum/tidak menghitungnya). Garis tinggi ΔOPQ, yaitu OL (pada gambar), tegak lurus dengan DO.Jadi, untuk menentukan jarak dari titik D ke bidang PQG, karena ΔDOL merupakan segitiga siku-siku, yang siku-siku di ∠DOL, kita membutuhkan panjang DL. Panjang OL mungkin tidak diperlukan. Mari kita lanjutkan.Garis PQ merupakan alas atau sisi miring atau sisi terpanjang dari segitiga siku-siku sama kaki PQB, dengan [tex]|PB|[/tex] = [tex]|QB|[/tex] = ½a. Oleh karena itu:[tex]\displaystyle|PQ|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ \Rightarrow\ {|PQ|}^2=\frac{a^2}{2}[/tex].Garis DL merupakan garis tinggi segitiga sama kaki PQD, dengan [tex]|PD|[/tex] = [tex]|QD|[/tex]. PD adalah sisi miring dari segitga siku-siku APD, dan QD adalah sisi miring segitiga siku-siku CQD. ΔAPD ≅ ΔCQD, karena [tex]|AP|[/tex] = [tex]|CQ|[/tex] = ½a, dan [tex]|AD|[/tex] = [tex]|CD|[/tex] = a. Oleh karena itu:[tex]\begin{aligned}DL^2&=PD^2-PL^2\\&=AD^2+AP^2-\left(\frac{1}{2}PQ\right)^2\\&=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\frac{a^2}{2}\\&=a^2+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{8}\\&=a^2+\frac{a^2}{8}\\DL^2&=\frac{9a^2}{8}\\\end{aligned}[/tex]Untuk panjang OL, kita gunakan prinsip kesebangunan segitiga (bisa juga dengan aturan sinus), karena ΔDOL sebangun dengan ΔDBJ. DB adalah diagonal bidang ABCD, sehingga [tex]|DB|=a\sqrt{2}\ \Rightarrow\ |DB|^2=2a^2[/tex]. Sedangkan [tex]|BJ|[/tex] = [tex]|AP|[/tex] =  [tex]\dfrac{a}{2}\ \Rightarrow\ |BJ|^2=\dfrac{a^2}{4}[/tex].Maka:[tex]\begin{aligned}&\frac{|DO|}{|DB|}=\frac{|DL|}{|DJ|}\ \ {\Rightarrow\ \ }\frac{|DO|^2}{|DB|^2}=\frac{|DL|^2}{|DJ|^2}\\&{\Rightarrow\ }|DO|^2=\frac{|DL|^2\cdot|DB|^2}{|DJ|^2}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{|DL|^2\cdot|DB|^2}{|DB|^2+|BJ|^2}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{\dfrac{9a^2}{8}\cdot2a^2}{2a^2+\dfrac{a^2}{4}}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{\ \cancel{\dfrac{9}{4}}a^4\ }{\cancel{\dfrac{9}{4}}a^2}\ =\ a^2\\&{\Rightarrow\ }{\bf d}_{D\to PQG}=|DO|=\sqrt{|DO|^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{\therefore\ }\boxed{\ {\bf d}_{D\to PQG}=\ \bf a\ }\\&\quad\blacksquare\end{aligned}[/tex] KESIMPULAN∴  Jarak titik D ke bidang PQG adalah a. 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 04 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>