persamaan garis singgung grafik [tex]y = 2x + \sqrt{3x

Berikut ini adalah pertanyaan dari puteri01azka pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Persamaan garis singgung grafik $y = 2x + \sqrt{3x - 2}$
yang sejajar dengan garis
$11x - 4y + 7 = 0$
adalah....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

4y = 11x + 2 atau 11x – 4y + 2 = 0

Pembahasan

Pertama, kita tentukan gradien dari garis 11x – 4y + 7 = 0 yang sejajar dengan garis singgung yang dicari.

$\begin{aligned}&11x-4y+7=0\\{\Bigl.}\Leftrightarrow\ &{-}4y=-11x-7\\{\Biggl.}\Leftrightarrow\ &y=\left(\frac{-11}{-4}\right)x\:-\:\frac{7}{-4}\\{\Biggl.}\Leftrightarrow\ &y=\left(\frac{11}{4}\right)x+\frac{7}{4}\\{\Biggl.}\therefore\ &m_g=\frac{11}{4}\end{aligned}$

Karena sejajar, maka $m = m_g = \dfrac{11}{4}$ .

Lalu, kita tentukan turunan pertama dari $y = 2x+\sqrt{3x - 2}$ .

$\begin{aligned}{\Bigl.}y&=2x+\sqrt{3x-2}\\{\Bigl.}y'&=\left(2x+\sqrt{3x-2}\right)'\\{\Bigl.}&=(2x)'+\left(\sqrt{3x-2}\right)'\\{\Bigl.}&=2+\left(\sqrt{u}\right)'\implies u=3x-2\\{\Biggl.}&=2+\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\\{\Biggl.}&=2+\frac{1}{2\sqrt{3x-2}}(3x-2)'\\{\Biggl.}y'&=2+\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}(i)\end{aligned}$

Kemudian, kita tentukan absis titik singgungnya.

$\begin{aligned}&{\Leftrightarrow\ }y'=m_g\\&{\Biggl.}{\Leftrightarrow\ }2+\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}=\frac{11}{4}\\&{\Biggl.}{\Leftrightarrow\ }\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}=\frac{11}{4}-2\\&{\Biggl.}{\Leftrightarrow\ }\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}=\frac{3}{4}\\&{\Biggl.}{\Leftrightarrow\ }\frac{\cancel{3}}{\cancel{2}\sqrt{3x-2}}\cdot\frac{\cancel{2}}{\cancel{3}}=\frac{\cancel{3}}{4}\cdot\frac{2}{\cancel{3}}\\&{\Leftrightarrow\ }\frac{1}{\sqrt{3x-2}}=\frac{1}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{\Biggl.}{\Leftrightarrow\ }\sqrt{3x-2}=2\\&{\Leftrightarrow\ }3x-2=4\\&{\Bigl.}{\Leftrightarrow\ }3x=6\\&{\Leftrightarrow\ }x=\bf2\\\end{aligned}$

⇒ Absis titik singgung: x = 2

Setelah itu, kita tentukan ordinat titik singgungnya.

$\begin{aligned}{\Bigl.}\quad\left[\ x=2\ \right]\\{\Bigl.}\implies y&=2(2)+\sqrt{3(2)-2}\\{\Bigl.}&=4+\sqrt{6-2}\\{\Bigl.}&=4+\sqrt{4}\\{\Bigl.}&=4+2\\{\Bigl.}y&=\bf6\end{aligned}$

⇒ Ordinat titik singgung: y = 6

⇒ Maka, titik singgungnya adalah (2, 6)

Terakhir, kita tentukan persamaan garis singgung grafik y di titik (2, 6) dengan m = 11/4.

$\begin{aligned}&&y-y_1&=m(x-x_1)\\&{\Biggl.}\Leftrightarrow&y-6&=\frac{11}{4}(x-2)\\&\Leftrightarrow&4(y-6)&=11(x-2)\\&{\Bigl.}\Leftrightarrow&4y-24&=11x-22\\&{\Bigl.}\Leftrightarrow&4y&=11x-22+24\\&{\Bigl.}\Leftrightarrow&\bf4y&\bf=11x+2\end{aligned}$