Jawab:

9

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Fungsi obyektif/sasaran:

f(x, y) = 3x + 2y

Kendala:

(i) 4x + 3y ≤ 12

(ii) 2x + 6y ≤ 12

(iii) x ≥ 0, y ≥ 0

Menentukan titik potong antara garis batas kendala (i) dan (ii) dengan sumbu koordinat [ kendala (iii) ]

(i) 4x + 3y ≤ 12

• Titik potong garis 4x + 3y = 12 dengan sumbu-x adalah:
  (12/4, 0)  ⇔  (3, 0)
• Titik potong garis 4x + 3y = 12 dengan sumbu-y adalah:
  (0, 12/3)  ⇔  (0, 4)

(ii) 2x + 6y ≤ 12

• Titik potong garis 2x + 6y = 12 dengan sumbu-x adalah:
  (12/2, 0)  ⇔  (6, 0)
• Titik potong garis 2x + 6y = 12 dengan sumbu-y adalah:
  (0, 12/6)  ⇔  (0, 2)

Menentukan titik potong antara garis batas kendala (i) dan (ii)

Dari kendala (ii), persamaannya adalah 2x + 6y = 12.

Maka:

2x + 6y = 12

⇔ x + 3y = 6

⇔ x = 6 – 3y

Substitusi nilai x ke dalam persamaan dari kendala (i).

4x + 3y = 12

⇔ 4(6 – 3y) + 3y = 12

⇔ 24 – 12y + 3y = 12

⇔ 24 – 9y = 12

⇔ –9y = –12

⇔ y = –12/–9

⇔ y = 4/3

Substitusi nilai y ke x = 6 – 3y

x = 6 – 3(4/3)

⇔ x = 6 – 4

⇔ x = 2

Titik potong antara garis batas kendala (i) dan (ii) adalah (2, 4/3).

Maka, titik-titik yang termasuk dalam kendala (penyelesaian pertidaksamaan) dan mungkin akan mencapai nilai maksimum untuk fungsi obyektif adalah:

(3, 0), (0, 2), dan (2, 4/3).

Menentukan nilai maksimum f(x, y)

f(x, y) = 3x + 2y

• f(3, 0) = 9 + 0 = 9
• f(0, 2) = 0 + 4 = 4
• f(2, 4/3) = 6 + 8/3 = 26/3

sehingga diperoleh:

f(0, 2) < f(2, 4/3) < f(3, 0)

∴  Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum f(x, y) = 3x + 2y dalam kisaran solusi sistem ketidaksetaraan linear ( 4x + 3y ≤ 12, 2x + 6y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 ) adalah

9, pada titik (3, 0).