Kuis, 4ⁿ + 18ⁿ = 81ⁿ [A] n = (ln2-ln9)/lnφ [B] n

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis, 4ⁿ + 18ⁿ = 81ⁿ[A] n = (ln2-ln9)/lnφ
[B] n = lnφ/(ln2+ln9)
[C] n = (ln9+ln2)/lnφ
[D] n = lnφ/(ln9-ln2)
[E] n = (ln9-ln2)/lnφ

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika 4ⁿ + 18ⁿ = 81ⁿ, maka n = ln φ / (ln 9 – ln 2).
 

Pembahasan

Jika saya menggunakan rumus yang merupakan kesimpulan tambahan pada pertanyaan lain (kuis) dari @xcvi, maka hasilnya akan sangat mudah ditentukan.

Rumus tersebut adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Jika $\left(a^2\right)^m-(ab)^m=\left(b^2\right)^m$, atau}\\&\textsf{$\left(a^2\right)^m=\left(b^2\right)^m+(ab)^m$, maka:}\\\vphantom{\Bigg|}&\qquad m=\frac{\ln\varphi}{\ln a-\ln b}=\frac{\ln\varphi}{\ln(a/b)}\end{aligned}$}$

Jadi, penyelesaian singkatnya adalah sebagai berikut.

4ⁿ + 18ⁿ = 81ⁿ
⇒ 81ⁿ = 4ⁿ + 18ⁿ
⇒ (9²)ⁿ = (2²)ⁿ + (9·2)ⁿ
(a = 9, b = 2)
⇒ n = ln φ / (ln 9 – ln 2)

Sedangkan penyelesaian panjangnya adalah sebagai berikut.

4ⁿ + 18ⁿ = 81ⁿ
⇒ 81ⁿ – 18ⁿ – 4ⁿ = 0
⇒ (9²)ⁿ – (9·2)ⁿ = (2²)ⁿ
⇒ (9ⁿ)² – 2ⁿ·9ⁿ = (2ⁿ)²
⇒ a² – ba = b², dengan a = 9ⁿ, b = 2ⁿ
⇒ a² – ba + ¼b² = b² + ¼b²
⇒ (a – ½b)² = ¼(5b²)
⇒ a – ½b = ± ½b√5
⇒ a = ½b ± ½b√5
⇒ a = ½(1 ± √5)·b
⇒ a/b = ½(1 ± √5)
⇒ 9ⁿ/2ⁿ = ½(1 ± √5)
⇒ (9/2)ⁿ = ½(1 ± √5)
⇒ n = [log ½(1 ± √5)] / log (9/2)

½(1 – √5) < 0 ⇒ invalid sebagai numerus
⇒ n = [log ½(1 + √5)] / log (9/2)

Dengan $e$ sebagai basis logaritma:
⇒ n = [ln ½(1 + √5)] / ln (9/2)