1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

><[tex] \: [/tex]Jika:[tex]~~~~~~[/tex] x = 2 + √7[tex]~~~~~~[/tex] y =

Berikut ini adalah pertanyaan dari erichelfredian07 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

>< \:
Jika:

~~~~~~ x = 2 + √7
~~~~~~ y = 2 - √7

Nilai dari x² + y² - 4ab adalah ...​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

SOLUSI UMUM:

x^2+y^2-4ab=\bf22+16C^2, dengan nilai Cberasal dari persamaan kuadratC\left(m^2-4m-3\right)=0 yang memiliki akar-akar x dan y.

Untuk C = 1: x^2+y^2-4ab=\bf38.

 

Pembahasan

Diketahui

\begin{cases}x = 2 + \sqrt{7}\\y = 2 - \sqrt{7}\end{cases}

Ditanyakan

Nilai dari x^2+y^2-4ab

Penyelesaian

Tidak ada informasi mengenai nilai adanb, sehingga kedua variabel ini adalah variabel “bebas“. Meninjau nilai xdany, kedua nilai tersebut merupakan bentuk akar konjugat (sekawan)dari sebuah persamaan kuadratam^2+bm+c=0, dengan akar-akar m=xdanm=y, atau sebaliknya.

Akar-akar sekawan ini memiliki rumus:

x,y\:=\:\dfrac{-b}{2a}\:\pm\:\dfrac{\sqrt{D}}{2a}

Jika xdanyadalah akar-akar dari persamaan kuadratam^2+bm+c=0, dan dengan bentuk x,y=p\pm\sqrt{q}, maka:

\begin{aligned}&x^2+y^2-4ab\\&{=\ }(x+y)^2-2xy-4ab\\&{=\ }\left(p+\sqrt{q}+p-\sqrt{q}\right)^2\\&{\quad}-2\left(p+\sqrt{q}\right)\left(p-\sqrt{q}\right)\\&{\quad}-4ab\\&{=\ }{(2p)}^2-2\left(p^2-q\right)-4ab\\&{=\ }4p^2-2p^2+2q-4ab\\&{=\ }2p^2+2q-4ab\\&{=\ }2\left(p^2+q\right)-4ab\quad...(i)\end{aligned}

Perlu diperhatikan bahwa dengan menganggap xdanymerupakan akar-akar dariam^2+bm+c=0, maka a, bdanc dapat memiliki banyak alternatif nilai, karena (m-x)(m-y)=0danC(m-x)(m-y)=0sama-sama memiliki akar-akarxdany, dengan C adalah konstanta/faktor pengali, dan C \in \mathbb{R}. Kedua bentuk persamaan kuadrat di atas memiliki akar-akar dan sumbu simetri yang sama, namun ordinat titik puncaknya berbeda.

  • Untuk bentuk (m-x)(m-y)=0: a = 1\,,\ b=-(x+y)\,,\ c=xy
  • Untuk bentuk C(m-x)(m-y)=0: a = C\,,\ b=-C(x+y)\,,\ c=Cxy

Sesuai nilai xdany yang diketahui di atas, maka p=2danq=7, sehingga dengan substitusi nilai pdanqke persamaan(i) di atas, diperoleh:

\begin{aligned}&x^2+y^2-4ab\\&{=\ }2\left(2^2+7\right)-4ab\\&{=\ }2(11)-4ab\\&{=\ }\boxed{\ \bf22-4ab\ }\qquad...(ii)\end{aligned}

Nilai x^2+y^2 konstan, yaitu 22, namun nilai 4ab tergantung dari bentuk persamaan kuadratnya. Dengan bentuk persamaan kuadrat C(m-x)(m-y)=0, adanya faktor pengali (scaling factor), yaitu C, membuat amenjadiaC, dan bmenjadibC. Oleh karena itu, persamaan (ii) di atas "diproyeksikan" menjadi:

\boxed{\ x^2+y^2-4ab=\bf22-C^2(4ab)\ }

Dengan a = 1, maka C=1. Kita tahu bahwa p=2 (p konstan, diperoleh dari nilai xdany), sehingga:

\begin{aligned}&2=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}\\&{\Rightarrow\ }b=\bf{-}4\\&{\Rightarrow\ }x^2+y^2-C^2(4ab)\\&{\quad}=22-1^2(-16)\\&{\quad}=22+16\\&{\quad}=\bf38\end{aligned}

Persamaan kuadratnya adalah:

\begin{aligned}&m^2+(-4)m+\left(2^2-\left(\sqrt{7}\right)^2\right)=0\\&\Rightarrow m^2-4m+(4-7)=0\\&\Rightarrow \bf m^2-4m-3=0\end{aligned}

Untuk 2m^2-8m-6=0, akar-akarnya juga xdany di atas, dan dalam hal ini, C=2. Dengan adanya faktor pengali C ini, 4ab juga menjadi konstan, yaitu \bf-16. Sehingga:

\begin{aligned}&x^2+y^2-C^2(4ab)\\&=22-2^2(-16)\\&=22+64\\&=\bf86\end{aligned}

Untuk 3m^2-12m-9=0, akar-akarnya juga xdany di atas, dan dalam hal ini, C=3. Sehingga:

\begin{aligned}&x^2+y^2-C^2(4ab)\\&=22-3^2(-16)\\&=22+144\\&=\bf166\end{aligned}

Dan seterusnya.

 

KESIMPULAN

SOLUSI UMUM:

x^2+y^2-4ab=\bf22+16C^2, dengan nilai Cberasal dari persamaan kuadratC\left(m^2-4m-3\right)=0 yang memiliki akar-akar x dan y.

Untuk C = 1: x^2+y^2-4ab=\bf38.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 31 Jul 22
<< Previous Post
Next Post >>