Solusi: x = 2, y = –1, dan z = 5.
 

Pembahasan

Sistem persamaan:

• (i): 2x + y + z = 8
• (ii): 3x – y + 2z = 17
• (iii): 4x + 2y – z = 1

Metode: ELIMINASI

Tahap 1: Mencari nilai x

• 1.1. Eliminasi y dari pers. (i) dan (ii)
  (i):  2x + y + z = 8
  (ii): 3x – y + 2z = 17
  –––––––––––––– +
  (iv): 5x + 3z = 25

• 1.2. Eliminasi y dari pers. (ii) dan (iii)
  (ii)×2: 6x – 2y + 4z = 34
  (iii)   : 4x +  2y – z  = 1
  ––––––––––––––––– +
  (v)   : 10x + 3z = 35

• 1.3. Eliminasi z dari pers. (iv) dan (v)
  (iv):   5x + 3z = 25
  (v) : 10x + 3z = 35
  ––––––––––––– –
  ⇒ –5x = –10
  ⇒     x = 2

Tahap 2: Mencari nilai y

• 2.1. Eliminasi x dari pers. (i) dan (ii)
  (i)×3 : 6x + 3y + 3z = 24
  (ii)×2: 6x – 2y + 4z = 34
  ––––––––––––––––– –
  (vi)   : 5y – z = –10

• 2.2. Eliminasi x dari pers. (ii) dan (iii)
  (ii)×4 : 12x – 4y + 8z = 68
  (iii)×3: 12x + 6y – 3z = 3
  ––––––––––––––––––– –
  (vii)   : –10y + 11z = 65

• 2.3. Eliminasi z dari pers. (vi) dan (vii)
  (vi)×11:   55y – 11z = –110
  (vii)     : –10y + 11z = 65
  ––––––––––––––––––– +
  ⇒ 45y = –45
  ⇒     y = –1

Tahap 3: Mencari nilai z

• 3.1a. Eliminasi x dari pers. (iv) dan (v)
  (iv)×2: 10x + 6z = 50
  (v)     : 10x + 3z = 35
  ––––––––––––––– –
  ⇒ 3z = 15
  ⇒   z = 5

- - - ATAU - - -

• 3.1b. Eliminasi y dari pers. (vi) dan (vii)
  (vi)×2: 10y – 2z = –20
  (vii) : –10y + 11z = 65
  –––––––––––––––– +
  ⇒ 9z = 45
  ⇒   z = 5

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, solusinya adalah: x = 2, y = –1, dan z = 5.
________________

Metode: SUBSTITUSI

(i): 2x + y + z = 8
⇒ 2x + y = 8 – z   ...(viii)

(iii): 4x + 2y – z = 1
⇒ 2(2x + y) = 1 + z   ...(ix)

Substitusi (2x + y) dari pers. (viii) → (ix).
(ix): 2(2x + y) = 1 + z
⇒ 2(8 – z) = 1 + z
⇒ 16 – 2z = 1 + z
⇒ 16 – 1 = z + 2z
⇒ 15 = 3z
⇒ z = 5

Substitusi nilai z ke pers. (ii).
(ii): 3x – y + 2z = 17
⇒ 3x – y + 2(5) = 17
⇒ 3x – y + 10 = 17
⇒ 3x – y = 17 – 10
⇒ 3x – y = 7
⇒ y = 3x – 7   ...(x)

Substitusi nilai z ke pers. (viii).
2x + y = 8 – z
⇒ 2x + y = 8 – 5
⇒ 2x + y = 3
⇒ y = 3 – 2x   ...(xi)

Samakan pers. (x) dan (xi).
y = y
⇒ 3x – 7 = 3 – 2x
⇒ 3x + 2x = 3 + 7
⇒ 5x = 10
⇒ x = 2

Substitusi nilai x pada pers. (xi).
(xi): y = 3 – 2x
⇒ y = 3 – 2(2)
⇒ y = 3 – 4
⇒ y = –1

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, solusinya adalah: x = 2, y = –1, dan z = 5.
________________

Metode: CAMPURAN

Alternatif 1

Sebagai langkah-langkah awal, kita bisa saja menggunakan langkah-langkah awal pada metode substitusi di atas, sampai memperoleh:

• nilai z = 5,
• persamaan (x), dan
• persamaan (xi).

Untuk mempersingkat, saya pikir kita tidak perlu menuliskan kembali langkah-langkahnya.

Kemudian, kita lakukan eliminasi y.

• (x) : y =  3x – 7
  (xi): y = –2x + 3
  ––––––––––— –
  ⇒ 0 = 5x – 10
  ⇒ 10 = 5x
  ⇒ x = 2

Lalu, substitusi lagi, nilai x pada pers. (xi).

• (xi): y = 3 – 2x
  ⇒ y = 3 – 2(2)
  ⇒ y = 3 – 4
  ⇒ y = –1

Alternatif 2

Eliminasi x dan y dari pers. (i) dan (iii).

• (i)×2: 4x + 2y + 2z = 16
  (iii)   : 4x + 2y – z = 1
  ––––––––––—–—–– –
  ⇒ 3z = 15
  ⇒   z = 5

Substitusi nilai z pada pers. (ii).

• (ii): 3x – y + 2z = 17
  ⇒ 3x – y + 2(5) = 17
  ⇒ 3x – y + 10 = 17
  ⇒ 3x – y = 7
  ⇒ y = 3x – 7  ⇐ pers. (x)
  Kita peroleh lagi pers. (x).

Substitusi nilai z pada pers. (i).

• (i): 2x + y + z = 8
  ⇒ 2x + y + 5 = 8
  ⇒ 2x + y = 3
  ⇒ y = 3 – 2x  ⇐ pers. (xi)
  Kita peroleh lagi pers. (xi).

Selanjutnya, seperti cara pada alternatif 1 di atas.

Kita lakukan eliminasi y dari pers. (x) dan (xi).

• (x) : y =  3x – 7
  (xi): y = –2x + 3
  ––––––––––— –
  ⇒ 0 = 5x – 10
  ⇒ 10 = 5x
  ⇒ x = 2

Lalu, substitusi lagi, nilai x pada pers. (xi).

• (xi): y = 3 – 2x
  ⇒ y = 3 – 2(2)
  ⇒ y = 3 – 4
  ⇒ y = –1

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, solusinya adalah: x = 2, y = –1, dan z = 5.