1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(2, 5), B(10, 9) dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(2, 5), B(10, 9) dan C(5, 12). Luas segitiga ABC adalah ...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui segitiga ABCdengan titik-titikA(2, 5), B(10, 9)danC(5, 12). Luas segitiga ABCadalah22 satuan luas.

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Cara 1

Yaitu dengan luas persegi atau persegi panjang yang tepat di luar segitiga, dikurangi luas tiga buah segitiga siku-siku di dalam persegi/persegi panjang tersebut namun di luar segitiga ABC.

Pilih A sebagai titik sudut persegi/persegi panjang.

Panjang:

\begin{aligned}p&={\rm max}\left(x_A,x_B,x_C\right)\:-\:x_A\\&={\rm max}(2,10,5)-2\\&=10-2\\p&=8\end{aligned}

Lebar:

\begin{aligned}l&={\rm max}\left(y_A,y_B,y_C\right)\:-\:y_A\\&={\rm max}(5,9,12)-5\\&=12-5\\l&=7\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=L_{\square}-\textstyle\sum L_{\triangle}\\&=pl-\frac{1}{2}\left(\left|x_B-x_A\right|\left|y_B-y_A\right|+\left|x_C-x_B\right|\left|y_C-y_B\right|+\left|x_A-x_C\right|\left|y_A-y_C\right|\right)\\&=8\cdot7-\frac{1}{2}\left(|10-2||9-5|+|5-10||12-9|+|2-5||5-12|\right)\\&=56-\frac{1}{2}(32+15+21)\\&=56-\frac{1}{2}(68)\\&=56-34\\L_{\triangle ABC}&=\boxed{\,\bf22\ satuan\ luas\,}\end{aligned}

\blacksquare

Cara 2

Yaitu dengan luas trapesium siku-siku yang dikurangi luas dua buah segitiga siku-siku di dalam trapesium tersebut namun di luar segitiga ABC .

Ambil AC sebagai sisi miring trapesium.

\begin{aligned}t&={\rm max}\left(y_A,y_B,y_C\right)\:-\:y_A\\&={\rm max}(5,9,12)-5\\&=12-5\\t&=7\end{aligned}

Luas trapesium:

\begin{aligned}L_{\sf trap.}&=\frac{1}{2}\left(\textstyle\sum{\sf sisi\ sejajar}\right)\cdot t\\&=\frac{1}{2}\left(\left|x_B-x_C\right|+\left|x_B-x_A\right|\right)\cdot 7\\&=\frac{7}{2}\left(\left|10-5\right|+\left|10-2\right|\right)\\&=\frac{7}{2}\left(13\right)\\L_{\sf trap.}&=\frac{91}{2}\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=L_{\sf trap.}-\textstyle\sum L_{\triangle}\\&=\frac{91}{2}-\frac{1}{2}\left(\left|x_B-x_C\right|\left|y_B-y_C\right|+\left|x_B-x_A\right|\left|y_B-y_A\right|\right)\\&=\frac{91-\left(|5-10||12-9|+|10-2||9-5|\right)}{2}\\&=\frac{91-\left(15+32\right)}{2}\\&=\frac{91-47}{2}\\&=\frac{44}{2}\\L_{\triangle ABC}&=\boxed{\,\bf22\ satuan\ luas\,}\end{aligned}

\blacksquare

Cara 3

Yaitu dengan rumus luas segitiga sembarang (teorema Heron).

L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

dengan a, b, dan c menyatakan panjang ketiga sisi segitiga sembarang, dan

s=\dfrac{a+b+c}{2}

Jika dikembangkan lebih lanjut, akan diperoleh rumus:

\begin{aligned}16L^2&=4a^2b^2-\left(c^2-a^2-b^2\right)^2\\\therefore\ L&=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-\left(c^2-a^2-b^2\right)^2}\end{aligned}

dengan pemilihan a, b, dan c tidak perlu memperhatikan urutan sisi pada segitiga.

Kita bisa memilih:

a=\left|\overline{AB}\right|,\ b=\left|\overline{BC}\right|,\ c=\left|\overline{CA}\right|

sehingga:

\begin{aligned}a^2&=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\\&=(10-2)^2+(9-5)^2\\&=64+16\\&=80\\b^2&=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2\\&=(5-10)^2+(12-9)^2\\&=25+9\\&=34\\c^2&=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2\\&=(2-5)^2+(5-12)^2\\&=9+49\\&=58\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-\left(c^2-a^2-b^2\right)^2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{4\cdot80\cdot34-\left(58-80-34\right)^2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{4\cdot4^2\cdot5\cdot2\cdot17-(-56)^2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{4^3\cdot170-56^2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{4^3\cdot170-2^6\cdot7^2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{2^6\cdot170-2^6\cdot49}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{2^6(170-49)}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{2^6\cdot121}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{2^6\cdot11^2}=\frac{2^3\cdot11}{4}\\&=2\cdot11\end{aligned}

L_{\triangle ABC}=\boxed{\,\bf22\ satuan\ luas\,}

\blacksquare

Cara 4

Jika sudut antara AB dan AC adalah \theta, maka luas segitiga ABC dapat dihitung dengan:

L_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|\overline{AB}\right|\left|\overline{AB}\right|\sin\theta

Jika \hat eadalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor\overrightarrow{AB}dan\overrightarrow{AC} dalam ruang dimensi 3, maka:

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left | \overrightarrow{AB} \right |\left | \overrightarrow{AC} \right |\hat e \sin\theta

Sehingga:

\left |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \right |=\left | \overrightarrow{AB} \right |\left | \overrightarrow{AC} \right |\sin\theta

Perkalian silang antara dua vektor dalam dimensi 2 menghasilkan skalar, sehingga diperoleh:

\begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\\&=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}(x_B-x_A)&(y_B-y_A)\\ (x_C-x_A)&(y_C-y_A)\end{vmatrix}\\&=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}(10-2)&(9-5)\\ (5-2)&(12-5)\end{vmatrix}\\&=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}8&4\\ 3&7\end{vmatrix}\\&=\frac{1}{2}(56-12)\\&=\frac{1}{2}(44)\\L_{\triangle ABC}&=\boxed{\,\bf22\ satuan\ luas\,}\end{aligned}

\blacksquare

Dan tentunya masih ada cara lainnya, termasuk integral luas daerah.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 28 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>