Diketahui suatu persamaan yaitu :[tex](10a+b)\times(10b+a)\times c=2015[/tex]Tentukan hasil dari [tex]a\times b\times

Berikut ini adalah pertanyaan dari framadivadaffa24 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui suatu persamaan yaitu : $(10a+b)\times(10b+a)\times c=2015$

Tentukan hasil dari $a\times b\times c = ...$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

15

Penjelasan dengan langkah-langkah:

$\large\text{$\begin{aligned}
&(10a+b)(10b+a)c=2015\\
&{\quad}\normalsize\text{$\left[\begin{aligned}
&\textsf{Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan satuan, maka:}\\
&\textsf{$(10a+b)\rightarrow$ bilangan 2 angka $[ab]$, dan}\\
&\textsf{$(10b+a)\rightarrow$ bilangan 2 angka $[ba]$.}\\
&\textsf{Salah satu dari $a$, $b$, atau $c$ harus memiliki}\\
&\textsf{bilangan satuan berupa angka $5$.}
\end{aligned}\right.$}
\end{aligned}$}$

CARA 1

Pada cara ini, kita pilih/tebak bahwa c = 5, karena pernyataan-pernyataan di atas.

$\large\text{$\begin{aligned}
&c=5\\
&\implies(10a+b)(10b+a)=2015\div5\\
&\iff(10a+b)(10b+a)=403\\
&\iff100ab+10(a^2+b^2)+ab=403\\
&\iff101ab+\!\!\!\!\underbrace{10(a^2+b^2)}_{\textsf{puluhan atau ratusan}}\!\!\!\!=403\\
\end{aligned}$}$

Nilai 10(a²+b²)merupakanpuluhan atau ratusan, atau dengan kata lain merupakan bilangan kelipatan 10, dengan angka satuan 0. Sehingga, nilai 101ab harus memiliki angka satuan 3, dan merupakan kelipatan dari 101.

Karena ketiga bilangan merupakan bilangan bulat positif, maka:

101ab < 403, dan 101ab merupakan kelipatan 3

Oleh karena itu:

101ab = 303

⇔ ab = 3

Dengan nilai ab = 3, kedua bilangan a dan b haruslah 1 dan 3, atau sebaliknya.

Sehingga:

a×b×c = 3×5

⇔ a×b×c = 15

_________________________

CARA 2

$\large\text{$\begin{aligned}
&{\iff}{\left[100ab+10\left(a^2+b^2\right)+ab\right]c}=2015\\
&{\iff}{\left[101ab+10\left(a^2+b^2\right)\right]c}=2015\\
&{\iff}\underbrace{101abc}_{\bigstar\bigstar}+\underbrace{10c(a+b)^2}_{\bigstar}=2015\\
\end{aligned}$}$

$\large\text{$\begin{aligned}
&{\quad}\normalsize\text{$\left[\begin{aligned}
\bigstar\ &\textsf{Nilai $10c(a^2+b^2)$ pasti merupakan bilangan}\\
&\textsf{puluhan atau ratusan.}\\
\bigstar\bigstar\ &\textsf{Oleh karena itu, nilai $101abc$ pasti merupakan}\\
&\textsf{bilangan berangka satuan 5.}\\
&\textsf{Dengan kata lain, $abc$ merupakan kelipatan 5.}
\end{aligned}\right.$}\\
&{\implies}\textsf{Nilai $abc$ sehingga $101abc$

Sampai di sini, sudah cukup untuk mengambil kesimpulan bahwa:

a×b×c = 15

Sebagai verifikasi, proses perhitungan dilanjutkan.

Faktor dari 15 adalah: 1, 3, 5, dan 15.

Jika a, b, dan c merupakan tiga bilangan bulat positif yang berbeda, maka:

a = 1, b = 3, dan c = 5, dengan nilai a dan b yang bisa saling tukar.

Substitusi nilai a, b, dan c ke persamaan awal:

$\large\text{$\begin{aligned}
&(10a+b)(10b+a)c=2015\\
&\qquad a=1\:,\ b=3\:,\ c=5\\
&\begin{array}{rcl}
(10\cdot1+3)(10\cdot3+1)5&\stackrel{??}{=}&2015\\
13\times31\times5&\stackrel{??}{=}&2015\\
403\times5&\stackrel{??}{=}&2015\\
2015&\stackrel{\textsf{\checkmark}}{=}&2015\\
\end{array}
\end{aligned}$}$