Jika koefisien x³y⁵ dari (3x – 2y)⁸ adalah 32p, maka

Berikut ini adalah pertanyaan dari arnawatiduha72 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika koefisien x³y⁵ dari (3x – 2y)⁸ adalah 32p, maka nilai p = ...tolong dibantu jawab ya kakak. serta langkah-langkahnya.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai p = –1512.

Pembahasan

Koefisien Binomial

Koefisien $x^3y^5$ pada ekspansi $(3x - 2y)^8$ dapat diperoleh dengan menggunakanteorema koefisien binomial, yang menyatakan bahwa ekspansi dari $(a+b)^n$ diberikan oleh:

$\large\text{$\begin{aligned}\left(a+b\right)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\left(n-i\right)}b^i\end{aligned}$}$

Dalam hal ini, $a = 3x$ , $b = -2y$ , dan $n = 8$ .

Kita tidak perlu menjabarkan ekspansi secara lengkap, cukup dengan mencari koefisien pada suku $x^3y^5\implies i=5$ .

Sehingga, jika $32p$ adalah koefisien $x^3y^5$ pada ekspansi $(3x - 2y)^8$ , maka:

$\begin{aligned}32px^3y^5&=\binom{8}{5}(3x)^3(-2y)^5\\32p\cancel{x^3y^5}&=\binom{8}{5}3^3(-2)^5\cdot\cancel{x^3y^5}\\32p&=\binom{8}{5}\cdot27\cdot(-32)\\p&=\binom{8}{5}\cdot27\cdot(-1)\\&=\binom{8}{5}\cdot(-27)\\&=\frac{8!}{5!(8-5)!}\cdot(-27)\\&=\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3!}}\cdot(-27)\\&=8\cdot7\cdot(-27)\\&=56\cdot(-27)\\&=\boxed{\ \bf{-}1512\ }\end{aligned}$