Jika dua digit terakhir x^777 adalah 77, maka 2 digit

Berikut ini adalah pertanyaan dari recmeow69 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika dua digit terakhir x^777 adalah 77, maka 2 digit terakhir dari x yaitu

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui dua digit terakhir $x^{777}$ adalah7.Makadua digit terakhirdari $x$ adalah17.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Misalkan $m\in \mathbb{N}$ dan ada dua bilangan yaitu a dan b. a dikatakan kongruendengan bmodulom $(a\equiv b \mod m)$ jika dan hanya jika $m|(a-b)$ . Teorema Euler menyatakan bahwa misalkan terdapat n yang merupakan bilangan bulat positif dan a adalah bilangan bulat yang relatif prima dengan n, maka berlaku

$a^{\varphi(n)}\equiv 1 (\mod n)$

dimana $\varphi(n)$ merupakanfungsi phi Euler, yaitu fungsi yang menghitung banyaknya bilangan bulat positif kurang dari n yang relatif prima dengan n.

Diketahui:

Dua digit terakhir $x^{777}$ adalah 7

Ditanyakan:

Dua digit terakhir dari $x$

Pembahasan:

Dua digit terakhir $x^{777}$ adalah 7, sehingga diperoleh bahwa $x^{777}=77(\mod 100)$ atau $x^{777}=7(\mod 10)$ .

Menurut teorema Euler, $x$ relatif prima dengan 10 dan $\varphi(10)=4$ , maka $x^4\equiv1 (\mod10)$ . Sehingga diperoleh:

$x^{777}=7(\mod 10) \implies (x^4)^{194}\cdot x\equiv 7(\mod 10)$

$\iff x \equiv 7 (\mod 10)$

Karena $x \equiv 7 (\mod 10)$ , maka dua digit terakhir dari $x$ dapat dinyatakan dengan $x=10k+7$ . Dengan teorema euler, $x$ relatif prima dengan 100 dan $\varphi(100)=40$ , maka $x^{40}\equiv1 (\mod100)$ . Sehingga diperoleh:

$x^{777}=7(\mod 10) \implies (x^{40})^{19} \cdot x^{17} \equiv 77 (\mod 100)$

$\iff x^{17} \equiv 77 (\mod 100)\\\iff (10k+17)^{17} \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 170k\cdot 7^{16} +7^{17} \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 170k\cdot (7^{4})^4 +(7^4)^4\cdot 7 \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 170k\cdot (1)^4 +(1)^4\cdot 7 \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 170k +7 \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 70k\equiv 70 (\mod 100)\\\iff 7k\equiv 7 (\mod 10)\\\iff k\equiv 1 (\mod 10)$