Berti berencana untuk menuangkan beton dengan lebar yang sama di sekitar kolam persegi panjangnya untuk membentuk jalan setapak. Jika kolamnya berukuran 20 m × 14 mdan ia memiliki cukup beton untuk menutupi240 meter persegi, maka:
lebar jalan setapak itu adalah 3 meter.
 

Pembahasan

Menurut saya, kata yang lebih tepat dari “di sekitar” adalah “di sekeliling” atau “mengelilingi”. Dan lebar jalan setapak yang dimaksud di sini adalah lebar maksimum.

Misalkan:

• x menyatakan lebar jalan setapak,
• p dan l masing-masing menyatakan panjang dan lebar kolam,

maka setidaknya terdapat 2 cara untuk memandang persoalan ini.

Cara Pertama

Jalan setapak yang mengelilingi kolam adalah gabungan dari 4 segmen jalan, di mana setiap segmen jalan tersebut berbentuk persegi panjang, yang terbagi atas 2 kelompok:

• 2 segmen jalan berukuran (p + x) × x, dan
• 2 segmen jalan berukuran (l + x) × x.

Luas jalan setapak dapat kita cari dengan:

L = 2(p + x)x + 2(l + x)x
⇒ L = 2x(p + x + l + x)
⇒ L = 2x(p + l + 2x)

Dengan L = 240 m², p = 20 m, dan l = 14 m, kita peroleh:

240 = 2x(20 + 14 + 2x)
⇒ 120 = x(34 + 2x)
⇒ 60 = x(17 + x)

Sampai di sini, kita sudah bisa menebak bahwa x = 3.
Tetapi, jangan main tebak-tebakan.

⇒ 60 = x² + 17x    ....(i)
⇒ x² + 17x – 60 = 0
⇒ (x + 20)(x – 3) = 0
⇒ x = –20, x = 3

Ternyata tebakan di atas benar, karena x = –20 tidak valid. Kita hanya mencari nilai positif di sini.

∴  Dengan demikian, lebar jalan setapak tersebut adalah 3 meter.

Cara Kedua

Luas jalan setapak sama dengan selisih antara dari luas areal persegi panjang gabungan kolam beserta jalan setapak (L1), dengan luas kolam (L2).

Karena jalan setapak mengelilingi kolam, maka rumus untuk L1 adalah:

L1 = (p + 2x)(l + 2x)
⇒ L1 = pl + 2(p+l)x + 4x²

Sehingga:

240 = L1 – L2
⇒ 240 = pl + 2(p+l)x + 4x² – pl
⇒ 240 = 4x² + 2(p+l)x
⇒ 120 = 2x² + (p+l)x
⇒ 120 = 2x² + (20+14)x
⇒ 120 = 2x² + 34x
⇒ 60 = x² + 17x

Persamaan ini sama dengan persamaan (i) di atas.

∴  Maka sudah tentu hasil yang akan diperoleh sama, yaitu lebar jalan setapak tersebut adalah 3 meter.