1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

2. Pecahkan differential equation yang berikut dengan exact differential equation.

Berikut ini adalah pertanyaan dari rreskiameliaa pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

2. Pecahkan differential equation yang berikut dengan exact differential equation. (2x + 3y + 1) dx + (3x - 2y + 1) dy = 0 a. b. xy² dx + x²y dy = 0 C. 3xy dx + (x² + 4y) dy = 0​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Soal a.
Solusi umum untuk persamaan diferensial eksak (2x + 3y + 1)\,dx + (3x - 2y + 1)\,dy = 0 adalah
\boxed{\,x^2-y^2+3xy+x+y=c\,}

Soal b.
Solusi umum untuk persamaan diferensial eksak xy^2\,dx + x^2y\,dy = 0 adalah
\boxed{\,\frac{x^2y^2}{2}=c\,}

Soal c.
Persamaan diferensial 3xy\,dx+\left(x^2+4y\right)dy=0 BUKAN persamaan diferensial eksak, sehingga tidak terdapat solusi untuk f(x, y)yang turunannya terhadapxadalahM(x,y)=3xy, dan sekaligus pada saat yang sama, turunannya terhadap yadalahN(x,y)=x^2+4y.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Soal a.

Diberikan persamaan diferensial:

(2x + 3y + 1)\,dx + (3x - 2y + 1)\,dy = 0.

Uji keeksakan:

\begin{aligned}\bullet\ &M(x,y)\,dx=(2x+3y+1)\,dx\\&\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(2x+3y+1)=3\\\bullet\ &N(x,y)\,dy=(3x-2y+1)\,dy\\&\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(3x-2y+1)=3\\\end{aligned}

\begin{aligned}&\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\\&\Rightarrow \textsf{Uji keeksakan terpenuhi.}\end{aligned}

Penyelesaian persamaan diferensial eksak

\begin{aligned}\int M(x,y)\,{\partial x}&=\int(2x+3y+1)\,{\partial x}\\&=\int2x\,{\partial x}+\int3y\,{\partial x}+\int1\,{\partial x}\\&=\frac{2x^2}{2}+3yx+x\\\int M(x,y)\,{\partial x}&=x^2+3xy+x\end{aligned}

\begin{aligned}\int N(x,y)\,{\partial y}&=\int(3x-2y+1)\,{\partial y}\\&=\int3x\,{\partial y}-\int2y\,{\partial y}+\int1\,{\partial y}\\&=3xy-\frac{2y^2}{2}+y\\\int N(x,y)\,{\partial y}&=3xy-y^2+y\end{aligned}

Pada ∫M(x,y)∂x dan ∫N(x,y)∂y, terdapat suku yang sama, yaitu 3xy. Kita hanya akan menuliskan suku tersebut sekali saja pada f(x, y).

Maka:

\begin{aligned}f(x, y)&=x^2-y^2+3xy+x+y\end{aligned}

Solusi umum berbentuk f(x, y)=c, yaitu:

\boxed{\,x^2-y^2+3xy+x+y=c\,}
\blacksquare

Soal b.

Diberikan persamaan diferensial:

xy^2\,dx + x^2y\,dy = 0

Uji keeksakan:

\begin{aligned}\bullet\ &M(x,y)\,dx=xy^2\,dx\\&\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(xy^2\right)=2xy\\\bullet\ &N(x,y)\,dy=x^2y\,dy\\&\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2y\right)=2xy\\\end{aligned}

\begin{aligned}&\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\\&\Rightarrow \textsf{Uji keeksakan terpenuhi.}\end{aligned}

Penyelesaian persamaan diferensial eksak

\begin{aligned}\int M(x,y)\,{\partial x}&=\int\left(xy^2\right){\partial x}\\&=y^2\int x\,{\partial x}\\&=y^2\cdot\frac{x^2}{2}\\\int M(x,y)\,{\partial x}&=\frac{x^2y^2}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}\int N(x,y)\,{\partial y}&=\int\left(x^2y\right){\partial y}\\&=x^2\int y\,{\partial y}\\&=x^2\cdot\frac{y^2}{2}\\\int N(x,y)\,{\partial y}&=\frac{x^2y^2}{2}\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}f(x, y)&=\frac{x^2y^2}{2}\end{aligned}

Solusi umum berbentuk f(x, y)=c, yaitu:

\boxed{\,\frac{x^2y^2}{2}=c\,}
\blacksquare

Soal c.

Diberikan persamaan diferensial:

3xy\,dx+\left(x^2+4y\right)dy=0

Uji keeksakan:

\begin{aligned}\bullet\ &M(x,y)\,dx=3xy\,dx\\&\Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(3xy\right)=3x\\\bullet\ &N(x,y)\,dy=\left(x^2+4y\right)dy\\&\Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+4y\right)=2x\\\end{aligned}

Perhatikan bahwa

\begin{aligned}&\frac{\partial M}{\partial y}\ne\frac{\partial N}{\partial x}\\&\Rightarrow \textsf{Uji keeksakan tidak terpenuhi.}\end{aligned}

Sehingga, tidak terdapat solusiuntukf(x, y)yang turunannya terhadapxadalahM(x,y)=3xy, dan sekaligus pada saat yang sama, turunannya terhadap yadalahN(x,y)=x^2+4y.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 07 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>