1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

(+50) KuMat - Kuis Matematika Materi: Trigonometri Diketahui bilangan real [tex]x[/tex] dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari henriyulianto pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

(+50) KuMat - Kuis MatematikaMateri: Trigonometri

Diketahui bilangan real xdany yang memenuhi sistem persamaan
\begin{cases}\dfrac{\sin x}{\sin y}=3\\\\\dfrac{\cos x}{\cos y}=\dfrac{1}{2}\end{cases}
Terdapat bilangan bulat positif adanb, di mana keduanya relatif prima (saling prima, atau koprima), sehingga pecahan a/b tidak dapat disederhanakan lagi, yang memenuhi
\begin{aligned}\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)}+\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}=\frac{a}{b}\end{aligned}

Berapakah nilai \sqrt{b - a} ?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban: \sqrt{b-a}=\bf3
 

Penjelasan:

Sebelumnya, mohon maaf kalau latex ada yang rusak.

\displaystyle\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)}+\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}

Untuk suku pertama:

\displaystyle\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)}=\frac{\cancel{2}\sin x\cos x}{\cancel{2}\sin y\cos y}

\displaystyle\Rightarrow \frac{\sin(2x)}{\sin(2y)}=\frac{\sin x\cos x}{\sin y\cos y}=3\times\frac{1}{2}

\displaystyle\Rightarrow \frac{\sin(2x)}{\sin(2y)}={\bf\frac{3}{2}}\quad...(1)

Untuk suku kedua:

\displaystyle\sin x=3\sin y\,,\ \cos x=\frac{1}{2}\cos y

Karena sin² x + cos² x = 1, maka:

\displaystyle9\sin^2y+\frac{1}{4}\cos^2y=1

\displaystyle\Rightarrow 9\sin^2y+\frac{1}{4}\left(1-\sin^2y\right)=1

\displaystyle\Rightarrow \frac{35}{4}\sin^2y+\frac{1}{4}=1

\displaystyle\Rightarrow \frac{35}{4}\sin^2y=\frac{3}{4}

\displaystyle\Rightarrow \sin^2y=\frac{3/4}{35/4}=\bf\frac{3}{35}

\displaystyle\Rightarrow \sin^2x=9\left(\frac{3}{35}\right)=\bf\frac{27}{35}

Karena cos 2α = 1 – 2 sin² α, maka:

\displaystyle \frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}=\frac{1-2\sin^2x}{1-2\sin^2y}

\displaystyle\Rightarrow\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}=\frac{1-2\left(\dfrac{27}{35}\right)}{1-2\left(\dfrac{3}{35}\right)}

\displaystyle\Rightarrow\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}=\frac{1-\dfrac{54}{35}}{1-\dfrac{6}{35}}

\displaystyle\Rightarrow\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}=\frac{-\dfrac{19}{\cancel{35}}}{\dfrac{29}{\cancel{35}}}

\displaystyle\Rightarrow\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}={\bf{-}\frac{19}{29}}\quad...(2)

Oleh karena itu, yang dicari adalah (1) + (2).

\displaystyle\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)}+\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{19}{29}\right)

\displaystyle\Rightarrow \frac{\sin(2x)}{\sin(2y)}+\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}=\frac{87}{58}-\frac{38}{58}

\displaystyle\Rightarrow \frac{\sin(2x)}{\sin(2y)}+\frac{\cos(2x)}{\cos(2y)}=\bf\frac{49}{58}

Sehingga a=\bf49, dan b=\bf58.

Maka:

\displaystyle\therefore\ \sqrt{b-a}=\sqrt{58-49}=\bf3

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor4 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 21 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>